Corrigé emlyon 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 3 — Partie B (Q8 à Q10.b) : Simulation en Python des lancers jusqu'au premier double pile, fréquence de (T = 4) comparée à P(T = 4) = 1/8

Q8. Un lancer se simule par un tirage rd.random() : il donne pile si le nombre tiré est strictement inférieur à $p$, ce qui arrive avec la probabilité $\mathbf{P}(U<p)=p$ pour $U$ de loi uniforme sur $[0,1[$ ; face sinon (probabilité $1-p=q$).

def Exp_1(p):
    N = 1                      # rang du lancer en cours
    while rd.random() >= p:    # ce lancer donne face : on relance
        N = N + 1

    if rd.random() < p:        # le lancer supplementaire donne pile
        S = 1
    else:
        S = 0
    return N+1, S

Pourquoi cela convient. Chaque évaluation de la condition du while effectue un nouveau tirage, donc un nouveau lancer. Tant que le lancer de rang N donne face, on passe au rang suivant ; à la sortie de la boucle, le lancer de rang N a donné pile : N contient le rang du premier pile, c'est-à-dire $N-1$ dans les notations de la partie A. Le test suivant simule le lancer supplémentaire (rang $\text{N}+1$) et code son résultat dans S. Le couple renvoyé, (N+1, S), est bien (nombre total de lancers, indicatrice de $S$).

Exécution (contrôle). Sur $10^5$ appels avec $p=0,3$ (à la suite des deux appels de Q10(b)), la moyenne des premières composantes vaut $4,331$ (théorie : $E(N)=\frac{1,3}{0,3}\approx 4,333$, Q1) et la fréquence de $S=1$ vaut $0,3011$ (théorie : $\mathbf{P}(S)=0,3$, Q2).