Corrigé emlyon 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 3 — Partie C (Q11 à Q14) : Nombre de doubles piles : indicatrices non indépendantes, covariances, variance d'une somme et loi faible des grands nombres par Bienaymé-Tchebychev

Notons, pour $k⩾1$, $X_k$ l'indicatrice de $P_k$ : les $X_k$ sont mutuellement indépendantes (lancers indépendants), de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$, et $Y_n=X_n{X}_{n+1}$.

Q11. $Y_n$ prend les valeurs $0$ et $1$, et, par indépendance des lancers $n$ et $n+1$,

$$\mathbf{P}(Y_n=1)=\mathbf{P}(P_n\cap P_{n+1})=\mathbf{P}(P_n)\mathbf{P}(P_{n+1})=p^2.$$

Donc $\boxed{Y_n\hookrightarrow \mathcal{B}(p^2),E(Y_n)=p^2,V(Y_n)=p^2(1-p^2).}$

Ce que le correcteur attend : la justification de $\mathbf{P}(Y_n=1)=p^2$ par l'indépendance, pas seulement le résultat.

Q12. (a) $Y_n$ et $Y_{n+1}$. L'événement $(Y_n=1)\cap (Y_{n+1}=1)$ est $P_n\cap P_{n+1}\cap P_{n+2}$, de probabilité $p^3$ par indépendance des lancers. Or $\mathbf{P}(Y_n=1)\mathbf{P}(Y_{n+1}=1)=p^2\cdot p^2=p^4$, et $p^3\ne p^4$ puisque $p^3-p^4=p^3(1-p)\ne 0$ pour $p\in ]0,1[$. Donc

$$\mathbf{P}((Y_n=1)\cap (Y_{n+1}=1))\ne \mathbf{P}(Y_n=1)\mathbf{P}(Y_{n+1}=1),$$

et $\boxed{Y_n\text{ et }{Y}_{n+1}\text{ ne sont pas indeˊpendantes.}}$ Les deux variables partagent le lancer $n+1$ : savoir que $Y_n=1$ apprend que ce lancer est pile, ce qui augmente la probabilité d'avoir $Y_{n+1}=1$ (elle passe de $p^2$ à $p$).

$Y_n$ et $Y_m$, $m⩾n+2$. $Y_n=X_n{X}_{n+1}$ est une fonction de $(X_n,X_{n+1})$ et $Y_m=X_m{X}_{m+1}$ une fonction de $(X_m,X_{m+1})$. Comme $n+1<m$, les deux paquets d'indices $\{n,n+1\}$ et $\{m,m+1\}$ sont disjoints ; les $X_k$ étant mutuellement indépendantes, le lemme des coalitions donne : $\boxed{Y_n\text{ et }{Y}_m\text{ sont indeˊpendantes.}}$