Corrigé emlyon 2026 Maths approfondies ECG — Problème 1 — Partie 1 (Q1 à Q2.d) : Diagonalisation orthogonale d'une matrice 2×2, fonction de deux variables : points critiques et maximum global sur le cercle unité

Dans tout le problème, ${\mathbb{R}}^n$ et ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ sont munis du produit scalaire usuel $⟨\cdot |\cdot ⟩$ et de sa norme $\Vert \cdot \Vert$ ; $\mathrm{Tr}(A)={\sum }_{i=1}^n{a}_{i,i}$. Dans cette partie seulement, $n=2$ et $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$. Pour $(x,y)\ne (0,0)$, on note $U=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\phi (x,y)={}^{t}UAU$.

Q1. Trouver $Q\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ orthogonale et $D$ diagonale, à coefficients diagonaux décroissants, avec $A=QD{}^{t}Q$.
Q2.a. Montrer que $\phi (x,y)=1+\frac{2xy}{x^2+y^2}$ ; en déduire que $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$.
Q2.b. Montrer que $\phi$ a une infinité de points critiques ; les expliciter.
Q2.c. Montrer que $\phi (\alpha x,\alpha y)=\phi (x,y)$ pour tout $\alpha \in {\mathbb{R}}^{\ast }$.
Q2.d. En déduire que $\phi$ admet un maximum global sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ ; donner sa valeur et les points où il est atteint (on admet que le cercle unité $S_1$ est fermé et borné).