Corrigé emlyon 2026 Maths approfondies ECG — Problème 1 — Partie 2 (Q3.a à Q6.c) : Trace de tBB, maximum d'une forme linéaire sur un fermé borné sous contrainte, rang et trace d'une projection orthogonale

$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ quelconque. On note $D=[0,1{]}^n$ et, pour $k\in [[1,n]]$, ${\mathcal{C}}_k=\{(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n:{\sum }_{i=1}^n{x}_i=k\}$ ; $D$ et $D\cap {\mathcal{C}}_k$ sont admis fermés et bornés. Pour $\Lambda =({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ non nul avec ${\lambda }_1⩾\cdots ⩾{\lambda }_n$, on pose $f_{\Lambda }(x)={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i$ sur $D$.

Q3. Soit $B=(b_{i,j})\in {\mathcal{M}}_{n,m}(\mathbb{R})$. a. Expliciter les coefficients de ${}^{t}BB$ et $B{}^{t}B$. b. En déduire $\mathrm{Tr}({}^{t}BB)=\mathrm{Tr}(B{}^{t}B)$.
Q4. Représenter $D$, ${\mathcal{C}}_1$ et ${\mathcal{C}}_2$ pour $n=2$.
Q5. Soit $k\in [[1,n]]$ ; on suppose $\Lambda \notin \mathrm{Vect}((1,\dots ,1))$. Montrer que $f_{\Lambda }$ admet un maximum global sur $D$ sous la contrainte ${\mathcal{C}}_k$ et donner un point où il est atteint.
Q6. Soit $\pi$ une projection de ${\mathbb{R}}^n$, de matrice $P=(p_{i,j})$ dans la base canonique. a. Montrer que $\mathrm{rg}(P)=\mathrm{Tr}(P)$ (base adaptée à ${\mathbb{R}}^n=F\oplus G$). b. Si $\pi$ est orthogonale, montrer que $\Vert \pi (x)\Vert ⩽\Vert x\Vert$ pour tout $x$. c. En déduire, si $\pi$ est orthogonale, que $p_{i,i}\in [0,1]$ pour tout $i$.