Corrigé emlyon 2026 Maths approfondies ECG — Problème 1 — Partie 2 (suite) (Q7 à Q10.e) : Théorème spectral et inégalité de trace : le maximum de Tr(tMAM) est la somme des k plus grandes valeurs propres

Pour éviter toute confusion, on note dans ce fichier $[0,1{]}^n$ le pavé que le sujet appelle $D$, la lettre $D$ désignant la matrice diagonale de Q7.

Q7. $A$ est symétrique réelle. D'après le théorème spectral (version matricielle, admis par le programme), il existe une base orthonormée $(W_1,\dots ,W_n)$ de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ formée de vecteurs propres de $A$, associés à des valeurs propres réelles ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_n$. Quitte à renuméroter ces vecteurs (ce qui conserve le caractère orthonormé de la famille), on peut supposer les valeurs propres associées rangées dans l'ordre décroissant ; on les note ${\lambda }_1⩾\cdots ⩾{\lambda }_n$ et $V_1,\dots ,V_n$ les vecteurs correspondants. La matrice $Q=(V_1|\dots |V_n)$ a des colonnes orthonormées : elle est orthogonale, donc inversible avec $Q^{-1}={}^{t}Q$. Avec $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$, les relations $A{V}_i={\lambda }_i{V}_i$ s'écrivent colonne par colonne $AQ=QD$, d'où

$$\boxed{A=QD{Q}^{-1}=QD{}^{t}Q.}$$

Q8. Le coefficient $(i,j)$ de ${}^{t}MM$ est ${}^t{C}_i{C}_j=⟨C_i|C_j⟩$, qui vaut $1$ si $i=j$ et $0$ sinon (famille orthonormale). Donc $\boxed{{}^{t}MM=I_k}$ (matrice carrée d'ordre $k$).

Q9. Si ${\lambda }_i={\lambda }_1$ pour tout $i$, alors $D={\lambda }_1{I}_n$ et $A=Q({\lambda }_1{I}_n){}^{t}Q={\lambda }_{1}Q{}^{t}Q={\lambda }_1{I}_n$. Par Q8,

$${}^{t}MAM={\lambda }_1{}^{t}MM={\lambda }_1{I}_k,\boxed{\mathrm{Tr}({}^{t}MAM)=k{\lambda }_1.}$$

La quantité ne dépend pas de $M$ : tout choix de $M$ la rend maximale (et minimale). (Ici $A={\lambda }_1{I}_n$ est de rang $r⩾1$, donc ${\lambda }_1\ne 0$ et $r=n$.)