Corrigé emlyon 2026 Maths approfondies ECG — Problème 2 — Partie 1 (Q1.a à Q1.f) : Fonction associée à une variable entière : définition, croissance, limite monotone, continuité en 1, série dérivée

Toutes les variables sont définies sur un même espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbf{P})$ ; $\mathbf{E}$ et $\mathbf{V}$ désignent espérance et variance. Les questions 1 à 4 sont indépendantes. Soit $W$ une variable aléatoire discrète à valeurs entières ; on pose, pour $t\in [0,1]$, $G_W(t)={\sum }_{n=0}^{+\infty }\mathbf{P}(W=n)t^n$.

Q1.a. Justifier que $G_W$ est bien définie sur $[0,1]$.
Q1.b. Montrer que $G_W$ est croissante sur $[0,1]$.
Q1.c. En déduire l'existence d'un réel $\ell$ tel que $G_W(t)\to \ell$ quand $t\to 1^{-}$.
Q1.d. Montrer que ${\sum }_{n=0}^m\mathbf{P}(W=n)t^n⩽G_W(t)⩽G_W(1)$ pour $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $t\in [0,1[$, puis que ${\sum }_{n=0}^m\mathbf{P}(W=n)⩽\ell ⩽G_W(1)$.
Q1.e. En déduire que $G_W$ est continue en $1$.
Q1.f. Justifier que, pour $t\in [0,1[$, la série ${\sum }_{n⩾1}n\mathbf{P}(W=n)t^{n-1}$ converge. (On admet alors que $G_W$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,1[$, de dérivée la somme de cette série.)