Corrigé emlyon 2026 Maths approfondies ECG — Problème 2 — Partie 1 (suite) (Q2.a à Q4.b) : Événements indépendants de série divergente (Borel-Cantelli), marche redémarrée de même loi, produit de Cauchy de séries positives

Sujet officiel du concours emlyon, session 2026, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Q2. Soit $(A_{n})_{n ⩾ 1}$ une suite d'événements mutuellement indépendants. a. Montrer que $1 - x ⩽ exp (- x)$ pour tout réel $x$ . b. Montrer que, pour $1 ⩽ n ⩽ m$ , $P (⋃_{k = n}^{m} A_{k}) ⩾ 1 - exp (- \sum_{k = n}^{m} P (A_{k}))$ . c. On suppose que $\sum P (A_{n})$ diverge. Montrer que $P (⋂_{n ⩾ 1} ⋃_{k ⩾ n} A_{k}) = 1$ .
Q3. Soit $(W_{i})_{i ⩾ 1}$ une suite de variables discrètes mutuellement indépendantes de même loi. Pour $n, k \in N^{*}$ , on pose $U_{n} = (W_{1}, W_{1} + W_{2}, \dots, \sum_{i = 1}^{n} W_{i})$ et $V_{n, k} = (W_{k}, W_{k} + W_{k + 1}, \dots, \sum_{i = k}^{n - 1 + k} W_{i})$ . Montrer que $P (U_{n} = (j_{1}, \dots, j_{n})) = P (V_{n, k} = (j_{1}, \dots, j_{n}))$ pour tout $(j_{1}, \dots, j_{n}) \in R^{n}$ .
Q4. Soient $\sum_{n ⩾ 1} a_{n}$ et $\sum_{n ⩾ 0} b_{n}$ deux séries convergentes à termes positifs ; pour $n \in N^{*}$ , $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{n - k}$ . a. Montrer que $\sum_{k = 1}^{n} c_{k} ⩽ (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) (\sum_{j = 0}^{n} b_{j}) ⩽ \sum_{k = 1}^{2 n} c_{k}$ . b. En déduire que $\sum c_{k}$ converge et que $\sum_{k = 1}^{+ \infty} c_{k} = (\sum_{i = 1}^{+ \infty} a_{i}) (\sum_{j = 0}^{+ \infty} b_{j})$ .

Corrigé

Q2.a. Soit $g : x \mapsto exp (- x) - 1 + x$ , dérivable sur $R$ , de dérivée $g^{'} (x) = 1 - exp (- x)$ . On a $g^{'} (x) ⩽ 0$ pour $x ⩽ 0$ (car $exp (- x) ⩾ 1$ ) et $g^{'} (x) ⩾ 0$ pour $x ⩾ 0$ : $g$ est décroissante sur $] - \infty, 0]$ et croissante sur $[0, + \infty [$ , donc minimale en $0$ , où $g (0) = 0$ . Ainsi $g ⩾ 0$ , soit $1 - x ⩽ exp (- x)$ pour tout $x \in R$ . (C'est aussi l'inégalité de convexité : la fonction convexe $x \mapsto e^{- x}$ est au-dessus de sa tangente en $0$ .)

Q2.b. Soient $1 ⩽ n ⩽ m$ . Par passage au complémentaire et loi de De Morgan,

$P (k = n ⋃ m A_{k}) = 1 - P (k = n ⋂ m A_{k}) .$

Les événements $A_{k}$ étant mutuellement indépendants, leurs contraires $A_{k}$ le sont aussi (stabilité de l'indépendance par passage au complémentaire) ; donc

$P (k = n ⋂ m A_{k}) = k = n \prod m (1 - P (A_{k})) ⩽ k = n \prod m exp (- P (A_{k})) = exp (- k = n \sum m P (A_{k})),$

où l'on a multiplié membre à membre les inégalités $0 ⩽ 1 - P (A_{k}) ⩽ exp (- P (A_{k}))$ (Q2.a), légitime car tous les facteurs sont positifs. D'où

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