Corrigé emlyon 2026 Maths approfondies ECG — Problème 2 — Partie 2 (fin) (Q13.a à Q14.c) : Équation de la fonction associée à T, retour presque sûr, dérivée infinie en 1 et absence d'espérance ; simulation Python

Sujet officiel du concours emlyon, session 2026, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q1 et de Q11--Q12 ; $G_{T} (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (T = n) t^{n}$ pour $t \in [0, 1]$ .

Q13.a. À l'aide de Q12 et Q4.b, montrer que $G_{T} (t)^{2} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} (\sum_{k = 1}^{n} P (T = k) P (T = n - k)) t^{n}$ pour $t \in [0, 1]$ . b. Montrer que $t G_{T} (t)^{2} = 2 G_{T} (t) - t$ pour $t \in [0, 1]$ . c. En déduire $G_{T} (1) = 1$ , puis $P (T = - 1) = 0$ . d. Montrer que $G_{T}^{'} (t) \to + \infty$ quand $t \to 1$ .
Q14. Python. a. Écrire simul_T() qui simule $T$ . b. Une fonction mystere(N) remplit un tableau de N appels à simul_T() et renvoie np.mean de ce tableau ; sept appels mystere(1000) affichent des valeurs allant d'environ $31$ à $8182$ . Dire ce que fait mystere, puis ce que l'on peut conjecturer sur $T$ . c. Conjecturer un lien entre l'existence de l'espérance de $T$ et les propriétés de $G_{T}$ .

Corrigé

On note $p_{n} = P (T = n)$ pour $n \in N$ ; $p_{0} = 0$ et, par Q12.d, $p_{n + 1} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} p_{k} p_{n - k}$ pour $n ⩾ 1$ .

Q13.a. Soit $t \in [0, 1]$ . $T$ est une variable discrète à valeurs entières, donc (Q1.a) les séries $\sum_{n ⩾ 1} a_{n}$ et $\sum_{n ⩾ 0} b_{n}$ , où $a_{n} = p_{n} t^{n}$ et $b_{n} = p_{n} t^{n}$ , sont convergentes à termes positifs, de sommes $\sum_{i = 1}^{+ \infty} a_{i} = G_{T} (t) - p_{0} = G_{T} (t)$ et $\sum_{j = 0}^{+ \infty} b_{j} = G_{T} (t)$ . Leur produit de Cauchy au sens de Q4 a pour terme

$c_{n} = k = 1 \sum n a_{k} b_{n - k} = k = 1 \sum n p_{k} t^{k} p_{n - k} t^{n - k} = (k = 1 \sum n p_{k} p_{n - k}) t^{n} .$

Par Q4.b, $\sum c_{n}$ converge et

$G_{T} (t)^{2} = n = 1 \sum + \infty (k = 1 \sum n P (T = k) P (T = n - k)) t^{n} .$

Q13.b. Soit $t \in [0, 1]$ . Par Q12.d, pour $n ⩾ 1$ , $p_{n + 1} t^{n + 1} = \frac{t}{2} c_{n}$ . La série $\sum c_{n}$ converge (Q13.a) ; par linéarité, la série $\sum_{n ⩾ 1} p_{n + 1} t^{n + 1}$ converge et

$n = 1 \sum + \infty p_{n + 1} t^{n + 1} = \frac{t}{2} n = 1 \sum + \infty c_{n} = \frac{t}{2} G_{T} (t)^{2} .$

Le membre de gauche vaut $\sum_{m = 2}^{+ \infty} p_{m} t^{m} = G_{T} (t) - p_{0} - p_{1} t = G_{T} (t) - \frac{t}{2}$ (Q11.a). Ainsi $G_{T} (t) - \frac{t}{2} = \frac{t}{2} G_{T} (t)^{2}$ , soit, en multipliant par $2$ :

$\forall t \in [0, 1], t G_{T} (t)^{2} = 2 G_{T} (t) - t .$

Q13.c. L'égalité de Q13.b vaut en $t = 1$ : $G_{T} (1)^{2} - 2 G_{T} (1) + 1 = 0$ , soit $(G_{T} (1) - 1)^{2} = 0$ , d'où $G_{T} (1) = 1$ . Les événements $[T = - 1]$ et $[T = n]$ , $n \in N$ , forment un système complet d'événements ( $T$ est à valeurs dans ${- 1} \cup N$ ) ; par $σ$ -additivité,

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