Corrigé emlyon 2026 Maths approfondies ECG — Problème 2 — Partie 2 (Q5.a à Q10.b) : Marche aléatoire simple : moments, loi binomiale, simulation Python, équivalent de Stirling et retours en 0

Sujet officiel du concours emlyon, session 2026, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$(X_{n})_{n ⩾ 1}$ est une suite de variables indépendantes de même loi, avec $P (X_{n} = 1) = P (X_{n} = - 1) = \frac{1}{2}$ ; $S_{0} = 0$ et $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ pour $n ⩾ 1$ (position du marcheur après $n$ pas). Python : numpy est importé sous np, numpy.random sous rd.

Q5.a. Donner $E (X_{n})$ et $V (X_{n})$ . b. En déduire $E (S_{n})$ et $V (S_{n})$ .
Q6. Montrer que $(S_{n} / n)_{n ⩾ 1}$ converge en probabilité vers une variable certaine à préciser.
Q7. Écrire a. simul_X() qui simule $X_{1}$ ; b. simul_S(n) qui simule $S_{n}$ .
Q8. Vérifier que $S_{n} = 2 \sum_{k = 1}^{n} \frac{X _{k} + 1}{2} - n$ ; donner la loi de $\frac{X _{k} + 1}{2}$ .
Q9. Soient $n \in N^{*}$ et $i \in [[- n, n]]$ . a. Si $i$ et $n$ n'ont pas la même parité, justifier que $P (S_{n} = i) = 0$ . b. Sinon, montrer que $P (S_{n} = i) = (( n + i ) /2 n) (\frac{1}{2})^{n}$ .
Q10. Avec la formule de Stirling (admise) : a. montrer que $P (S_{2 n} = 0) \sim \frac{1}{π n}$ ; b. conclure, à l'aide de Q2.c, que presque sûrement la marche passe une infinité de fois par $0$ .

Corrigé

Q5.a. $X_{n}$ est une variable finie, donc admet espérance et variance :

$E (X_{n}) = 1 \cdot \frac{1}{2} + (- 1) \cdot \frac{1}{2} = 0, E (X_{n}^{2}) = 1, V (X_{n}) = E (X_{n}^{2}) - E (X_{n})^{2} = 1$

(formule de Kœnig-Huygens ; $X_{n}^{2} = 1$ est certaine).

Q5.b. Par linéarité de l'espérance (aucune indépendance n'est nécessaire ici), $E (S_{n}) = \sum_{k = 1}^{n} E (X_{k}) = 0$ . Les $X_{k}$ étant mutuellement indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances : $V (S_{n}) = \sum_{k = 1}^{n} V (X_{k}) = n$ .

Ce que le correcteur attend : l'indépendance invoquée pour la variance, et seulement là.

Q6. Soit $ε > 0$ . La variable $\frac{S _{n}}{n}$ a pour espérance $0$ et pour variance $\frac{1}{n ^{2}} V (S_{n}) = \frac{1}{n}$ (Q5.b). Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,

$0 ⩽ P (\frac{S _{n}}{n} - 0 ⩾ ε) ⩽ \frac{1}{n ε ^{2}} n \to + \infty 0.$

Par encadrement, cette probabilité tend vers $0$ pour tout $ε > 0$ : $\frac{S _{n}}{n} converge en probabilit e ˊ vers la variable certaine e ˊ gale a ˋ 0.$ C'est la loi faible des grands nombres pour la suite $(X_{k})$ , indépendante, de même loi, d'espérance $0$ et de variance finie.

Q7.a. rd.randint(0, 2) renvoie $0$ ou $1$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ chacun ; $2 u - 1$ vaut alors $- 1$ ou $1$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ :


def simul_X():
    return 2*rd.randint(0, 2) - 1

Q7.b. On ajoute $n$ simulations indépendantes de $X_{1}$ (chaque appel à rd.randint est un nouveau tirage, indépendant des précédents) :


def simul_S(n):
    S = 0
    for k in range(n):
        S = S + simul_X()
    return S

Exécution (graine rd.seed(2026)) : dix appels à simul_X() ont donné 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1 ; dix appels à simul_S(10), les valeurs 0, 0, 2, 0, 4, 4, 0, -2, -4, 2 (toutes paires, comme l'annonce Q9.a) ; sur $100000$ appels à simul_S(10), la moyenne empirique vaut $- 0, 0051$ et la variance empirique $9, 958$ , conformes à $E (S_{10}) = 0$ et $V (S_{10}) = 10$ .

Q8. Pour tout $n \in N$ , par linéarité de la somme finie,

$2 k = 1 \sum n \frac{X _{k} + 1}{2} - n = k = 1 \sum n (X_{k} + 1) - n = k = 1 \sum n X_{k} + n - n = S_{n}$

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