Corrigé emlyon 2026 Maths approfondies ECG — Problème 2 — Partie 2 (suite) (Q11.a à Q12.d) : Premier passage en 1 : décomposition selon le premier retour en 0, lemme des coalitions et relation de récurrence

Pour $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note ${\Delta }_m=\{(j_1,\dots ,j_m)\in {\mathbb{R}}^m:j_l⩽0\text{ pour }1⩽l⩽m-1,j_m=1\}$ (pour $m=1$ : ${\Delta }_1=\{1\}$) et $U_m=(S_1,\dots ,S_m)$, comme en Q3 avec $W_i=X_i$.

Q11.a. $T=1$ si et seulement si $S_1>0$, c'est-à-dire $X_1=1$. Donc $\boxed{\mathbf{P}(T=1)=\frac{1}{2}}$.

Q11.b. Soit $n⩾2$. Dire que $T=n$, c'est dire que $n$ est le premier instant où la marche est strictement positive : $S_j⩽0$ pour $1⩽j⩽n-1$ et $S_n>0$. Or la marche avance d'un pas $\pm 1$ : si $S_{n-1}⩽0$, alors $S_n=S_{n-1}+X_n⩽1$, et $S_n>0$ équivaut à $S_n=1$ ($S_n$ est entier). Réciproquement, si $S_j⩽0$ pour $j⩽n-1$ et $S_n=1$, alors $n$ est bien le plus petit indice où $S$ est strictement positif. D'où l'égalité. Elle vaut aussi pour $n=1$ avec une intersection vide ($=\Omega$) : $[T=1]=[S_1=1]$. Ainsi, pour tout $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $[T=m]=[U_m\in {\Delta }_m]$.

Q11.c. Pour $n=0$ : $\mathbf{P}(T=0)=0$ par définition de $T$. Pour $n⩾2$ pair : $[T=n]\subset [S_n=1]$ (Q11.b), et $1$ n'a pas la même parité que $n$, donc $\mathbf{P}(S_n=1)=0$ (Q9.a). Par croissance de $\mathbf{P}$, $\boxed{\mathbf{P}(T=n)=0}$.