Corrigé ENS 2026 Maths C MP — Partie I (Q1 à Q6) : Inégalités variationnelles, opérateurs monotones et projection sur un convexe fermé

${\mathbb{R}}^n$ est muni du produit scalaire canonique $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de la norme euclidienne $\Vert \cdot \Vert$. Soit $G:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ et $C\subset {\mathbb{R}}^n$ un convexe fermé non vide. Un point $x_{\ast }\in C$ est une solution forte de $G$ sur $C$ si $⟨G(x_{\ast }),x-x_{\ast }⟩\ge 0$ pour tout $x\in C$, une solution faible si $⟨G(x),x-x_{\ast }⟩\ge 0$ pour tout $x\in C$. $G$ est monotone si $⟨G(x^{\prime })-G(x),x^{\prime }-x⟩\ge 0$ pour tous $x,x^{\prime }$. On note $d_C(y)={\inf }_{x\in C}\Vert x-y\Vert$.

Q1. Si $G$ est monotone, une solution forte est une solution faible.
Q2. $G$ monotone continu, $x_{\ast }$ solution faible, $x\in C$, $\lambda \in ]0,1]$, $x_{\lambda }=x_{\ast }+\lambda (x-x_{\ast })$ : a) montrer $⟨G(x_{\lambda }),x-x_{\ast }⟩\ge 0$ ; b) en déduire que $x_{\ast }$ est solution forte.
Q3. ($n=1$) a) $G$ continue, $C$ convexe compact non vide : existence d'une solution forte. b) Exhiber $C$ convexe compact et $G$ continue sans solution faible.
Q4. a) ($n=1$) $G$ monotone, $C$ convexe compact non vide : existence d'une solution faible. b) Pour tout $n\ge 1$, exhiber $C$ convexe compact non vide et $G$ monotone sans solution forte.
Q5. Pour $y\in {\mathbb{R}}^n$, montrer qu'il existe $x\in C$ avec $d_C(y)=\Vert y-x\Vert$.
On admet que ce point est unique, noté ${\Pi }_C(y)$, et qu'il est l'unique point de $C$ tel que $⟨x^{\prime }-{\Pi }_C(y),y-{\Pi }_C(y)⟩\le 0$ pour tout $x^{\prime }\in C$ (propriété (ii)).
Q6. Pour $x={\Pi }_C(y)$, $x^{\prime }={\Pi }_C(y^{\prime })$, montrer $0\le \Vert x{\Vert }^2-\Vert x^{\prime }{\Vert }^2-2⟨y^{\prime },x-x^{\prime }⟩\le \Vert y^{\prime }-y{\Vert }^2$.