Corrigé ENS 2026 Maths C MP — Partie II (Q7 à Q10) : Existence d'une solution forte et théorème du minimax de von Neumann

Q7. Inégalité. La monotonie de $G$ appliquée au couple $(x,x_j)$ donne $⟨G(x_j)-G(x),x_j-x⟩\ge 0$, soit $⟨G(x),x_j-x⟩\le ⟨G(x_j),x_j-x⟩$ ; on multiplie par $2\eta >0$.

Égalité. D'après la définition, $y_{j+1}=y_j-\eta G(x_j)$ pour tout $j\ge 1$ (pour $j=1$ : $y_2=-\eta G(x_1)=y_1-\eta G(x_1)$ car $y_1=0$). Calculons, les termes $\pm \Vert x{\Vert }^2$ et $\pm \Vert x_{j+1}{\Vert }^2$, $\pm \Vert x_j{\Vert }^2$ se compensant :

$$\begin{array}{rl}{D}_j(x)-D_{j+1}(x)+B_j& =-\Vert x_j{\Vert }^2-2⟨y_j,x-x_j⟩+\Vert x_{j+1}{\Vert }^2+2⟨y_{j+1},x-x_{j+1}⟩\\ & +\Vert x_j{\Vert }^2-\Vert x_{j+1}{\Vert }^2-2⟨y_{j+1},x_j-x_{j+1}⟩\\ & =-2⟨y_j,x-x_j⟩+2⟨y_{j+1},(x-x_{j+1})-(x_j-x_{j+1})⟩\\ & =2⟨y_{j+1}-y_j,x-x_j⟩\\ & =2⟨-\eta G(x_j),x-x_j⟩=2\eta ⟨G(x_j),x_j-x⟩.\end{array}$$

Q8. Trois majorations. La suite $(x_j)$ ne dépend pas de $x$ ; fixons $x\in C$.

• $D_j(x)\ge 0$ : en développant, $D_j(x)=\Vert x-y_j{\Vert }^2-\Vert x_j-y_j{\Vert }^2$ (même calcul qu'en Q6), et $x_j={\Pi }_C(y_j)$ réalise la distance de $y_j$ à $C$, avec $x\in C$.
• $D_1(x)=\Vert x{\Vert }^2-\Vert x_1{\Vert }^2\le R^2$ où $R={\max }_{c\in C}\Vert c\Vert$ : ce maximum existe par le théorème des bornes atteintes (norme continue sur le compact non vide $C$), et $y_1=0$.
• $B_j\le {\eta }^2{M}^2$ où $M={\max }_{c\in C}\Vert G(c)\Vert$ (fonction continue $\Vert G\Vert$ sur le compact $C$) : Q6 appliquée à $y=y_j$, $y^{\prime }=y_{j+1}$, dont les projetés sont $x_j$, $x_{j+1}$, donne $B_j\le \Vert y_{j+1}-y_j{\Vert }^2={\eta }^2\Vert G(x_j){\Vert }^2\le {\eta }^2{M}^2$, car $x_j\in C$.