Corrigé ENS 2026 Maths C MP — Partie III (Q11 à Q16) : Itérations de Krasnoselskii-Mann : convergence vers un point fixe

Q11. Prenons $m=1$ et $F(x)=x+1$. Pour tous $x,x^{\prime }\in \mathbb{R}$, $|F(x^{\prime })-F(x)|=|x^{\prime }-x|$ : $F$ est $1$-lipschitzienne. Et $F(x)=x$ équivaudrait à $1=0$ : $F$ n'a aucun point fixe. (Une translation non nulle $x\mapsto x+v$, $v\ne 0$, convient dans tout ${\mathbb{R}}^m$.)

Q12. Prenons $m=1$, $F(x)=-x$, $x_{\ast }=0$ et $x_1=1$.

• [(i)] $F(0)=0$ : $x_{\ast }=0$ est un point fixe.
• [(ii)] On définit $x_{k+1}=F(x_k)=-x_k$, d'où $x_k=(-1{)}^{k-1}$ par récurrence immédiate.
• [(iii)] La suite $((-1{)}^{k-1}{)}_{k\ge 1}$ ne converge pas : ses suites extraites de rangs impairs et pairs sont constantes, égales à $1$ et à $-1$, donc de limites distinctes.

Enfin $|F(x^{\prime })-F(x)|=|x^{\prime }-x|$ : $F$ est $1$-lipschitzienne. Les itérées simples d'une application $1$-lipschitzienne ne convergent donc pas en général : c'est ce que corrige la moyenne $x_k+\theta (F(x_k)-x_k)$.

Q13. Comme $F(x_{\ast })=x_{\ast }$, on écrit