Corrigé ENS Ulm 2025 Maths D MP — Partie 1 (Q5 à Q11) : Partitions à parts imposées : série génératrice, quasi-polynomialité, coefficient dominant, formule de Popoviciu

Sujet officiel du concours ENS Ulm, session 2025, épreuve Maths D MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soient $k \in N^{*}$ et $a_{1}, \dots, a_{k} \in N^{*}$ , premiers entre eux dans leur ensemble si $k \geq 2$ . Pour $n \in N$ , $P (n)$ est le nombre de $k$ -uplets $(n_{1}, \dots, n_{k}) \in N^{k}$ tels que $n_{1} a_{1} + \dots + n_{k} a_{k} = n$ , et $F (x) = \sum_{n \geq 0} P (n) x^{n}$ .

Q5. Le rayon de convergence de $F$ est au moins $1$ .
Q6. Pour $x \in] - 1, 1 [$ , $F (x) = \prod_{i = 1}^{k} \frac{1}{1 - x ^{a_{i}}}$ .
Q7. En déduire que $P$ est quasi-polynomiale.
Q8. Calculer son coefficient dominant.
Désormais $k = 2$ , $a = a_{1}$ , $b = a_{2}$ , $ω_{a} = e^{2 i π / a}$ , $ω_{b} = e^{2 i π / b}$ .
Q9. Pour $(a, b) = (2, 3)$ , construire $ϕ : Z \to Z$ , $6$ -périodique, avec $P (n) = \frac{n + ϕ ( n )}{6}$ pour $n \in N$ .
Q10. Par une décomposition en éléments simples de $\frac{1}{( 1 - x ^{a} ) ( 1 - x ^{b} )}$ , établir pour $n \geq 0$ la formule

$P (n) = \frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{n}{ab} + \frac{1}{a} j = 1 \sum a - 1 \frac{ω _{a}^{- j n}}{1 - ω _{a}^{j b}} + \frac{1}{b} k = 1 \sum b - 1 \frac{ω _{b}^{- k n}}{1 - ω _{b}^{k a}} . (*)$

Q11. Avec $a^{*} a \equiv 1 (mod b)$ et $b^{*} b \equiv 1 (mod a)$ , montrer que $P (n) = \frac{n}{ab} - {\frac{b ^{*} n}{a}} - {\frac{a ^{*} n}{b}} + 1$ pour $n \geq 0$ (indication : $(*)$ avec $b = 1$ ).

Corrigé

Q5. Si $n_{1} a_{1} + \dots + n_{k} a_{k} = n$ avec les $n_{i} \in N$ , alors $n_{i} \leq n_{i} a_{i} \leq n$ (car $a_{i} \geq 1$ ), donc $(n_{1}, \dots, n_{k}) \in {0, \dots, n}^{k}$ et $0 \leq P (n) \leq (n + 1)^{k}$ . Soit $r \in] 0, 1 [$ . Comme $(n + 1)^{k} r^{n} \to 0$ (croissances comparées), la suite $(P (n) r^{n})$ est bornée. Par le lemme d'Abel (définition du rayon comme borne supérieure des $r$ pour lesquels $(P (n) r^{n})$ est bornée), le rayon $R_{F}$ vérifie $R_{F} \geq r$ pour tout $r < 1$ , donc $R_{F} \geq 1$ .

Q6. Pour $x \in] - 1, 1 [$ et $i \in {1, \dots, k}$ , la série géométrique donne $\frac{1}{1 - x ^{a_{i}}} = \sum_{m \geq 0} x^{a_{i} m} = \sum_{n \geq 0} b_{n}^{(i)} x^{n}$ , où $b_{n}^{(i)} = 1$ si $a_{i}$ divise $n$ et $0$ sinon ; cette série converge absolument. Le produit de Cauchy de séries absolument convergentes converge absolument vers le produit des sommes ; par récurrence sur $k$ (le produit de Cauchy de $k - 1$ facteurs est encore absolument convergent), on obtient

$i = 1 \prod k \frac{1}{1 - x ^{a_{i}}} = n \geq 0 \sum c_{n} x^{n}, c_{n} = m_{1} + \dots + m_{k} = n \sum b_{m_{1}}^{(1)} \dots b_{m_{k}}^{(k)} .$

Le produit $b_{m_{1}}^{(1)} \dots b_{m_{k}}^{(k)}$ vaut $1$ si chaque $m_{i}$ est multiple de $a_{i}$ et $0$ sinon, donc $c_{n}$ est le nombre de $(m_{1}, \dots, m_{k}) \in N^{k}$ de somme $n$ avec $a_{i} ∣ m_{i}$ . L'application $(n_{1}, \dots, n_{k}) \mapsto (n_{1} a_{1}, \dots, n_{k} a_{k})$ est une bijection de l'ensemble défini par $P (n)$ sur cet ensemble, donc $c_{n} = P (n)$ et $F (x) = \prod_{i = 1}^{k} \frac{1}{1 - x ^{a_{i}}}$ .

Q7. Factorisation. Pour $a \in N^{*}$ , $1 - X^{a} = \prod_{ζ^{a} = 1} (1 - ζ X)$ : les deux membres sont de degré $a$ , de coefficient constant $1$ , et ont pour racines exactement les $a$ racines $a$ -ièmes de l'unité (simples), car $ζ \mapsto ζ^{- 1}$ permute ces racines ; deux polynômes scindés à racines simples ayant mêmes racines sont proportionnels, et les coefficients constants imposent l'égalité. Donc

$D (X) = i = 1 \prod k (1 - X^{a_{i}}) = ω \in Ω \prod (1 - ω X)^{m_{ω}},$

où $Ω$ est l'ensemble (fini) des $ω \in C$ tels que $ω^{a_{i}} = 1$ pour au moins un $i$ , et $m_{ω} = Card {i : ω^{a_{i}} = 1} \geq 1$ .

Éléments simples. La fraction $1/ D$ a pour pôles les $ω^{- 1}$ , $ω \in Ω$ , d'ordres $m_{ω}$ , et sa partie entière est nulle ( $de g D \geq 1$ ). Sa décomposition en éléments simples dans $C (X)$ s'écrit avec des termes $μ / (X - ω^{- 1})^{p}$ ; comme $(X - ω^{- 1})^{p} = (- ω^{- 1})^{p} (1 - ω X)^{p}$ , elle prend la forme

$\frac{1}{D ( X )} = ω \in Ω \sum p = 1 \sum m_{ω} \frac{λ _{ω, p}}{( 1 - ω X ) ^{p}}, λ_{ω, p} \in C .$

Identification. Pour $x \in] - 1, 1 [$ , Q6 et Q4 donnent, chaque développement ayant un rayon au moins $1$ ,

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →