ENS Ulm 2025 — Maths D MP : sujet et corrigé

9 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière MP.

• Partie préliminaire (Q1 à Q4) — Fonctions quasi-polynomiales : espace vectoriel, unicité de l'écriture, caractérisation par classes de congruence, coefficients de 1/(1-ωx)^p
• Partie 1 (Q5 à Q11) — Partitions à parts imposées : série génératrice, quasi-polynomialité, coefficient dominant, formule de Popoviciu
• Partie 2.1 (Q12 à Q18) — Polytopes : faces, existence d'un sommet, enveloppe convexe des sommets, Conv(V) est un polytope par dualité
• Partie 2.2 (Q19 à Q24) — Caractéristique d'Euler des polytopes par tranches, intérieur relatif, formule d'Euler
• Partie 2.3 (Q25 à Q28) — Complexes de polytopes : facettes, cône sur le bord, subdivision barycentrique, caractéristique d'un complexe convexe
• Partie 3 (Q29 à Q32) — Polytope de Birkhoff : dimension, sommets = matrices de permutation (Birkhoff-von Neumann)
• Partie 4 (Q33 à Q35) — Séries de Laurent formelles : éléments rationnels et de torsion, application I, développement s_u selon une direction
• Parties 5.1 et 5.2 (Q36 à Q44) — Séries des points entiers d'un cône (parallélépipède fondamental, triangulation rationnelle), faces visibles depuis un point extérieur, cônes tangents, théorème de Brion
• Partie 5.3 (Q45 à Q48) — Théorème d'Ehrhart : polynôme (ou quasi-polynôme) de comptage, matrices magiques de Birkhoff