Corrigé ENS Ulm 2025 Maths D MP — Partie préliminaire (Q1 à Q4) : Fonctions quasi-polynomiales : espace vectoriel, unicité de l'écriture, caractérisation par classes de congruence, coefficients de 1/(1-ωx)^p

Sujet officiel du concours ENS Ulm, session 2025, épreuve Maths D MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une fonction $P : Z \to C$ est dite quasi-polynomiale s'il existe $k \in N$ et des fonctions périodiques $c_{0}, \dots, c_{k} : Z \to C$ telles que $P (n) = \sum_{i = 0}^{k} c_{i} (n) n^{i}$ pour tout $n \in Z$ . Si $c_{k}$ n'est pas la fonction nulle, $k$ est le degré de $P$ et $c_{k}$ son coefficient dominant.

Q1. Montrer que les fonctions quasi-polynomiales forment un $C$ -espace vectoriel.
Q2. Montrer que deux fonctions quasi-polynomiales qui coïncident sur $N$ sont égales (on parle alors de fonction quasi-polynomiale sur $N$ ).
Q3. Montrer que $P$ est quasi-polynomiale si et seulement s'il existe $m \in N^{*}$ et des polynômes $P_{0}, \dots, P_{m - 1} \in C [X]$ tels que $P (n) = P_{j} (n)$ pour tout $n \in Z$ congru à $j$ modulo $m$ .
Q4. Soit $ω$ une racine de l'unité et $p \in N^{*}$ ; on note $\sum R (n) x^{n}$ le développement en série entière de $x \mapsto (1 - ω x)^{- p}$ . Montrer que $R$ est quasi-polynomiale ; donner son degré et son coefficient dominant.

Corrigé

Convention. Une fonction $c : Z \to C$ est périodique s'il existe $T \in N^{*}$ tel que $c (n + T) = c (n)$ pour tout $n \in Z$ ; elle admet alors aussi pour période tout multiple de $T$ . Une famille finie $c_{0}, \dots, c_{k}$ de fonctions périodiques, de périodes $T_{0}, \dots, T_{k}$ , admet donc la période commune $T = T_{0} T_{1} \dots T_{k}$ .

Q1. Notons $Q$ l'ensemble des fonctions quasi-polynomiales ; c'est une partie de l'espace vectoriel $C^{Z}$ des fonctions de $Z$ dans $C$ .

La fonction nulle est dans $Q$ ( $k = 0$ , $c_{0} = 0$ , périodique de période $1$ ).
Soient $P (n) = \sum_{i = 0}^{k} c_{i} (n) n^{i}$ et $Q (n) = \sum_{i = 0}^{l} d_{i} (n) n^{i}$ dans $Q$ et $λ \in C$ . Quitte à poser $c_{i} = 0$ pour $k < i \leq l$ ou $d_{i} = 0$ pour $l < i \leq k$ (fonctions nulles, périodiques), on écrit les deux sommes jusqu'à $K = max (k, l)$ . Alors $(λ P + Q) (n) = \sum_{i = 0}^{K} (λ c_{i} + d_{i}) (n) n^{i}$ et chaque $λ c_{i} + d_{i}$ est périodique : si $T$ et $T^{'}$ sont des périodes de $c_{i}$ et $d_{i}$ , $T T^{'}$ est une période commune, donc une période de $λ c_{i} + d_{i}$ .

Donc $Q$ est un sous-espace vectoriel de $C^{Z}$ , en particulier un $C$ -espace vectoriel.

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