Corrigé ENS Ulm 2025 Maths D MP — Partie 4 (Q33 à Q35) : Séries de Laurent formelles : éléments rationnels et de torsion, application I, développement s_u selon une direction

Sujet officiel du concours ENS Ulm, session 2025, épreuve Maths D MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$C [[Z^{n}]]$ est l'espace des fonctions $f : Z^{n} \to C$ , et $x^{γ}$ l'indicatrice de ${γ}$ , de sorte que $f = \sum_{γ} f (γ) x^{γ}$ (somme d'une famille « localement finie »). $C [Z^{n}]$ est le sous-espace des fonctions à support fini. Le produit $(f g) (γ) = \sum_{α + β = γ} f (α) g (β)$ est défini lorsque, pour tout $γ$ , la somme n'a qu'un nombre fini de termes non nuls ; on admet qu'il est commutatif et associatif quand il est défini, et que $C [Z^{n}]$ est une $C$ -algèbre intègre, de corps des fractions $C (Z^{n})$ . Un $f$ est rationnel s'il existe $P \in C [Z^{n}] ∖ {0}$ avec $P f \in C [Z^{n}]$ , de torsion si $P f = 0$ ; $R$ et $T$ désignent ces espaces.

Q33. Pour $n = 1$ , les inclusions $0 \subset T \subset R \subset C [[Z]]$ sont strictes.
Q34. Si $f \in R$ vérifie $Q f = P$ , on pose $I (f) = P / Q$ : $I$ est bien définie, linéaire, de noyau $T$ , et $I (P f) = P I (f)$ .
Q35. Pour $u : Z^{n} \to R$ morphisme de groupes injectif, il existe une unique $s_{u} : C (Z^{n}) \to R$ telle que (a) $s_{u} (P f) = P s_{u} (f)$ ; (b) $I (s_{u} (f)) = f$ ; (c) $s_{u} (\frac{1}{1 - g}) = \sum_{m \in N} g^{m}$ si $g$ est combinaison linéaire finie de $x^{γ}$ avec $u (γ) > 0$ .

Corrigé

Remarques préliminaires. Si $P \in C [Z^{n}]$ , le produit $P f$ est toujours défini : $(P f) (γ) = \sum_{α \in supp P} P (α) f (γ - α)$ , somme finie. En particulier $(x^{α} f) (γ) = f (γ - α)$ et $x^{α} x^{β} = x^{α + β}$ . La formule du produit montre aussi la distributivité $f (g + h) = f g + f h$ lorsque les produits sont définis.

Q33. Ici $n = 1$ ; on note $x^{m}$ ( $m \in Z$ ) les éléments de base.

$T \neq = 0$ . Soit $f = \sum_{m \in Z} x^{m}$ (la fonction constante $1$ ). Pour $P = 1 - x$ , $(P f) (γ) = f (γ) - f (γ - 1) = 0$ : $f \in T$ et $f \neq = 0$ .
$T \neq = R$ . Soit $g = \sum_{m \geq 0} x^{m}$ (indicatrice de $N$ ). Alors $((1 - x) g) (γ) = g (γ) - g (γ - 1)$ vaut $1$ si $γ = 0$ et $0$ sinon : $(1 - x) g = 1 \in C [Z]$ , donc $g \in R$ . Si $P = \sum_{α} p_{α} x^{α} \neq = 0$ , soit $a$ le plus petit élément de son support : $(P g) (a) = \sum_{α} p_{α} g (a - α) = \sum_{α \leq a} p_{α} = p_{a} \neq = 0$ . Donc $P g \neq = 0$ : $g \in / T$ .
$R \neq = C [[Z]]$ . Soit $h$ l'indicatrice de l'ensemble des carrés ${N^{2} : N \in N}$ . Soit $P \neq = 0$ , de support contenu dans $[a, b]$ avec $p_{b} \neq = 0$ . Pour $N$ entier tel que $2 N + 1 > b - a$ , posons $γ = N^{2} + b$ : $(P h) (γ) = \sum_{a \leq α \leq b} p_{α} h (N^{2} + b - α)$ , et $N^{2} + b - α \in [N^{2}, N^{2} + b - a]$ ne contient d'autre carré que $N^{2}$ (car $(N + 1)^{2} - N^{2} = 2 N + 1 > b - a$ ), atteint pour $α = b$ . Donc $(P h) (N^{2} + b) = p_{b} \neq = 0$ pour une infinité de $N$ : $P h \in / C [Z]$ , et $h \in / R$ .

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