Corrigé ENS Ulm 2025 Maths D MP — Parties 5.1 et 5.2 (Q36 à Q44) : Séries des points entiers d'un cône (parallélépipède fondamental, triangulation rationnelle), faces visibles depuis un point extérieur, cônes tangents, théorème de Brion

Partie 5.1 : rationalité des séries associées aux cônes.

Q36. Première égalité. Ce sont des égalités de fonctions sur ${\mathbb{Z}}^n$ : pour $\gamma \in {\mathbb{Z}}^n$, $1_{A\cup B}(\gamma )+1_{A\cap B}(\gamma )=1_A(\gamma )+1_B(\gamma )$, car les deux membres valent $2$, $1$, $1$ ou $0$ selon que $\gamma$ appartient à $A$ et $B$, à un seul des deux, ou à aucun.

Seconde égalité. Pour $\delta \in {\mathbb{Z}}^n$, $(x^{\gamma }{E}_A)(\delta )=E_A(\delta -\gamma )$, qui vaut $1$ si et seulement si $\delta -\gamma \in A$ (il est automatiquement dans ${\mathbb{Z}}^n$ puisque $\gamma \in {\mathbb{Z}}^n$), c'est-à-dire $\delta \in \gamma +A$. Donc $x^{\gamma }{E}_A=E_{\gamma +A}$.

Q37. Notons $C=C({\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_k)$ et $\Pi =\{{\sum }_i{t}_i{\gamma }_i:t\in [0,1{[}^k\}$ le parallélépipède fondamental. Pour $S\subset \{1,\dots ,k\}$, soit ${\gamma }_S={\sum }_{i\in S}{\gamma }_i\in {\mathbb{Z}}^n$. Développons

$$D=\prod _{i=1}^k(1-x^{{\gamma }_i})=\sum _{S\subset \{1,\dots ,k\}}(-1{)}^{\mathrm{Card}S}{x}^{{\gamma }_S}\in \mathbb{C}[{\mathbb{Z}}^n].$$

$D\ne 0$ : par liberté, ${\gamma }_S=0$ seulement pour $S=\varnothing$, donc $D(0)=1$. Pour $x\in {\mathbb{Z}}^n$, d'après les remarques de la partie 4,

$$(D{E}_{v+C})(x)=\sum _S(-1{)}^{\mathrm{Card}S}{1}_{v+C}(x-{\gamma }_S).$$

Si $x-v\notin \mathrm{Vect}({\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_k)$, aucun $x-{\gamma }_S-v$ n'y est, et tous les termes sont nuls. Sinon $x-v=\sum t_i{\gamma }_i$ avec des $t_i$ uniques (famille libre), et $x-{\gamma }_S\in v+C$ si et seulement si $t_i\ge 1$ pour $i\in S$ et $t_i\ge 0$ pour $i\notin S$. Si un $t_i$ est $<0$, tous les termes sont nuls ; sinon, avec $A=\{i:t_i\ge 1\}$, la somme vaut ${\sum }_{S\subset A}(-1{)}^{\mathrm{Card}S}$, égale à $1$ si $A=\varnothing$ et $0$ sinon. Ainsi $(D{E}_{v+C})(x)=1$ si et seulement si $t\in [0,1{[}^k$, i.e. $x\in v+\Pi$ :

$$\prod _{i=1}^k(1-x^{{\gamma }_i})E_{v+C}=E_{v+\Pi }.$$

L'ensemble $v+\Pi$ est borné, donc $(v+\Pi )\cap {\mathbb{Z}}^n$ est fini et $E_{v+\Pi }\in \mathbb{C}[{\mathbb{Z}}^n]$. Comme $D\ne 0$, $E_{v+C}$ est rationnel, et $\mathrm{I}{E}_{v+C}=\frac{E_{v+\Pi }}{{\prod }_i(1-x^{{\gamma }_i})}$.

Q38. Une forme rationnelle. L'ensemble des formes linéaires $\ell =⟨w,\cdot ⟩$ telles que $⟨w,{\gamma }_i⟩>0$ pour tout $i$ est un ouvert non vide de ${\mathbb{R}}^n$ (intersection finie d'ouverts, contenant celle de l'énoncé) ; par densité de ${\mathbb{Q}}^n$, il contient un $w\in {\mathbb{Q}}^n$, et en multipliant par un entier, un $w\in {\mathbb{Z}}^n$. On remplace $\ell$ par ${\ell }^{\prime }=⟨w,\cdot ⟩$ : ${\ell }^{\prime }({\gamma }_i)\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Le cône $C=C({\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_k)$ ne dépend pas de ce choix.

La section. Soit $P=\{x\in C:{\ell }^{\prime }(x)=1\}$. Si $x=\sum t_i{\gamma }_i\in C$, ${\ell }^{\prime }(x)=\sum t_i{\ell }^{\prime }({\gamma }_i)$ ; donc $x\in P$ si et seulement si $x=\sum (t_i{\ell }^{\prime }({\gamma }_i))\frac{{\gamma }_i}{{\ell }^{\prime }({\gamma }_i)}$ est combinaison convexe des $w_i={\gamma }_i/{\ell }^{\prime }({\gamma }_i)\in {\mathbb{Q}}^n$. Ainsi $P=\mathrm{Conv}(w_1,\dots ,w_k)$ est un polytope (Q17), dont les sommets sont parmi les $w_i$ (Q18), donc rationnels. De plus, si $x\in C\setminus \{0\}$, ${\ell }^{\prime }(x)>0$ et $x/{\ell }^{\prime }(x)\in P$ : $C={\mathbb{R}}_{+}P$, où ${\mathbb{R}}_{+}X=\{\lambda y:\lambda \ge 0,y\in X\}$.

Triangulation à sommets rationnels. On applique la construction de Q27 à $P$, en choisissant pour chaque face $G$ le point $x_G$ isobarycentre des sommets de $G$ : il est dans $G^{\circ }$, car pour $i\notin S_G$ un sommet de $G$ au moins vérifie ${\ell }_i<a_i$ (sinon, par Q14 appliqué à $G$, ${\ell }_i=a_i$ sur $G$), donc la moyenne aussi. Les sommets de $G$ sont des sommets de $P$ (L3), donc $x_G\in {\mathbb{Q}}^n$. On obtient des simplexes ${\Delta }_c$, $c$ parcourant les chaînes de faces, avec $P={\bigcup }_c{\Delta }_c$ et ${\Delta }_c\cap {\Delta }_{c^{\prime }}={\Delta }_{c\cap c^{\prime }}$ (vide si $c\cap c^{\prime }=\varnothing$), donc par récurrence ${\bigcap }_{c\in \mathcal{E}}{\Delta }_c={\Delta }_d$ avec $d={\bigcap }_{c\in \mathcal{E}}c$.

Les cônes correspondants. Soit $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ un dénominateur commun des $x_G$. Pour une chaîne $d$ non vide, ${\mathbb{R}}_{+}{\Delta }_d=C(N{x}_G:G\in d)$ avec $N{x}_G\in {\mathbb{Z}}^n$, et cette famille est libre : si ${\sum }_G{\mu }_G{x}_G=0$, en appliquant ${\ell }^{\prime }$ (qui vaut $1$ sur $P$) on obtient $\sum {\mu }_G=0$, et l'indépendance affine des $x_G$ (Q27(a)) donne $\mu =0$. Par ailleurs, si $X,Y\subset P$, alors ${\mathbb{R}}_{+}X\cap {\mathbb{R}}_{+}Y={\mathbb{R}}_{+}(X\cap Y)$ si $X\cap Y\ne \varnothing$, et $\{0\}$ sinon : si $\lambda x={\lambda }^{\prime }y\ne 0$ avec $x\in X$, $y\in Y$, alors $\lambda ={\ell }^{\prime }(\lambda x)={\lambda }^{\prime }$ et $x=y$.

Inclusion-exclusion. Notons $A_c=v+{\mathbb{R}}_{+}{\Delta }_c$. Comme $C={\bigcup }_c{\mathbb{R}}_{+}{\Delta }_c$, $v+C={\bigcup }_c{A}_c$, et la formule d'inclusion-exclusion pour les indicatrices (développement de ${\prod }_c(1-1_{A_c})=1-1_{\bigcup A_c}$) donne