Corrigé ENS Ulm 2025 Maths D MP — Partie 2.2 (Q19 à Q24) : Caractéristique d'Euler des polytopes par tranches, intérieur relatif, formule d'Euler

Q19. Polytopes de $\mathbb{R}$. Une forme linéaire sur $\mathbb{R}$ est $x\mapsto \alpha x$ ; un polytope de $\mathbb{R}$ est une intersection finie de parties de la forme $\{\alpha x\le a\}$ (demi-droites fermées, $\mathbb{R}$ ou $\varnothing$), compacte non vide : c'est un convexe compact non vide de $\mathbb{R}$, donc un segment $[\alpha ,\beta ]$, $\alpha \le \beta$. Réciproquement $[\alpha ,\beta ]=\{x\le \beta ,-x\le -\alpha \}$ est un polytope.

Limite à droite. Pour $f=1_{[\alpha ,\beta ]}$ et $x\in \mathbb{R}$ : si $x<\alpha$ ou $x\ge \beta$, $f(y)=0$ pour $y\in ]x,x+\eta [$ avec $\eta$ petit ; si $\alpha \le x<\beta$, $f(y)=1$ pour $y\in ]x,\beta [$. Donc ${\lim }_{y\to x^{+}}f(y)$ existe et vaut $1_{[\alpha ,\beta [}(x)$, qui diffère de $f(x)$ au seul point $x=\beta$. Tout $f\in {\mathcal{U}}_1$ s'écrit $f={\sum }_{k=1}^r{c}_k{1}_{[{\alpha }_k,{\beta }_k]}$ ; par linéarité de la limite, ${\lim }_{y\to x^{+}}f(y)$ existe et vaut ${\sum }_k{c}_k{1}_{[{\alpha }_k,{\beta }_k[}(x)$, et l'ensemble des $x$ où elle diffère de $f(x)$ est inclus dans $\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_r\}$, fini.

Conséquence. ${\chi }_1$ est une somme finie, linéaire en $f$ (chaque $f\mapsto f(x)-f(x^{+})$ l'est), et ${\chi }_1(1_{[\alpha ,\beta ]})=1$ (seul le point $\beta$ contribue).

Q20. L'application $f\mapsto f_z$ est linéaire, il suffit de traiter $f=1_P$, $P=\{x:{\ell }_i(x)\le a_i,i\in I\}$. Alors $f_z=1_{P_z}$ avec $P_z=\{x^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{n-1}:(x^{\prime },z)\in P\}$. Si $P_z=\varnothing$, $f_z=0\in {\mathcal{U}}_{n-1}$. Sinon, en posant ${\ell }_i^{\prime }(x^{\prime })={\ell }_i(x^{\prime },0)$, forme linéaire sur ${\mathbb{R}}^{n-1}$, et $c_i={\ell }_i(0,\dots ,0,1)$,

$$P_z=\{x^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{n-1}:{\ell }_i^{\prime }(x^{\prime })\le a_i-c_{i}z,i\in I\},$$

fermé, borné (car $P$ l'est) et non vide : c'est un polytope de ${\mathbb{R}}^{n-1}$, et $f_z\in {\mathcal{U}}_{n-1}$.

Q21. Stabilité préalable. Si $A$ est linéaire inversible (ou plus généralement affine bijective, $A(x)=Lx+b$), $1_P\circ A=1_{A^{-1}(P)}$ et $A^{-1}(P)=\{x:{\ell }_i(Lx)\le a_i-{\ell }_i(b)\}$ est un polytope (compact comme image de $P$ par $A^{-1}$ continue). Donc $f\mapsto f\circ A$ envoie ${\mathcal{U}}_n$ dans ${\mathcal{U}}_n$.

Montrons par récurrence sur $n$ la propriété $({\mathcal{H}}_n)$ : pour $f\in {\mathcal{U}}_n$, ${\chi }_n(f)$ est bien défini, ${\chi }_n$ est linéaire, ${\chi }_n(1_P)=1$ pour tout polytope $P$ de ${\mathbb{R}}^n$, et ${\chi }_n(f\circ A)={\chi }_n(f)$ pour toute $A$ affine bijective.

Les deux premières assertions entraînent la troisième. Si $f=\sum c_k{1}_{P_k}$, alors $f\circ A=\sum c_k{1}_{A^{-1}(P_k)}$ et, par linéarité et valeur $1$ sur les polytopes, ${\chi }_n(f\circ A)=\sum c_k={\chi }_n(f)$.

$({\mathcal{H}}_1)$ découle de Q19. Soit $n>1$ et supposons $({\mathcal{H}}_{n-1})$. Pour $f\in {\mathcal{U}}_n$ et $z\in \mathbb{R}$, $f_z\in {\mathcal{U}}_{n-1}$ (Q20), donc $g(z)={\chi }_{n-1}(f_z)$ est défini, et $f\mapsto g$ est linéaire (composée de $f\mapsto f_z$ et de ${\chi }_{n-1}$). Pour $f=1_P$ : $g(z)={\chi }_{n-1}(1_{P_z})$ vaut $1$ si $P_z\ne \varnothing$ et $0$ sinon. Or $P_z\ne \varnothing$ si et seulement si $z\in \pi (P)$, où $\pi$ est la dernière coordonnée ; $\pi (P)$ est un convexe compact non vide de $\mathbb{R}$, un segment $[\alpha ,\beta ]$. Donc $g=1_{[\alpha ,\beta ]}\in {\mathcal{U}}_1$. Par linéarité, $g\in {\mathcal{U}}_1$ pour tout $f\in {\mathcal{U}}_n$ ; ${\chi }_n(f)={\chi }_1(g)$ est bien défini (il ne dépend que de $f$), linéaire en $f$, et ${\chi }_n(1_P)={\chi }_1(1_{[\alpha ,\beta ]})=1$. L'invariance suit, d'où $({\mathcal{H}}_n)$.