Corrigé ENS Ulm 2026 Maths D MP — Partie 1.1 (Q4a à Q8) : Opérateur de Chen-Stein : caractérisation de la loi de Poisson, équation de Stein et borne de sa solution

On note $p_n=\mathbb{P}(Z_{\lambda }=n)={\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^n/n!>0$. On rappelle $\mathbb{E}[Z_{\lambda }]=\lambda$ et, par la formule de transfert, $\mathbb{E}[|f(Z_{\lambda })|]={\sum }_{n\ge 0}|f(n)|p_n$.

Q4a. Pour $f\in {\mathcal{G}}_{\lambda }$, $\Vert f{\Vert }_{(\lambda )}={\sum }_n|f(n)|p_n$ est un réel positif (fini par définition de ${\mathcal{G}}_{\lambda }$).

• Homogénéité. Pour $\alpha \in \mathbb{R}$ : $\Vert \alpha f{\Vert }_{(\lambda )}={\sum }_n|\alpha ||f(n)|p_n=|\alpha |\Vert f{\Vert }_{(\lambda )}$.
• Inégalité triangulaire. Pour $f,g\in {\mathcal{G}}_{\lambda }$ : $|f(n)+g(n)|p_n\le |f(n)|p_n+|g(n)|p_n$ pour tout $n$ ; en sommant ces séries à termes positifs, $\Vert f+g{\Vert }_{(\lambda )}\le \Vert f{\Vert }_{(\lambda )}+\Vert g{\Vert }_{(\lambda )}$.
• Séparation. Si $\Vert f{\Vert }_{(\lambda )}=0$, la série à termes positifs $\sum |f(n)|p_n$ est nulle, donc chaque terme est nul ; comme $p_n>0$ pour tout $n$, $f(n)=0$ pour tout $n$ : $f=0$.

C'est la stricte positivité de tous les $p_n$ qui assure la séparation.

Q4b. La linéarité est immédiate : ${\mathcal{L}}_{\lambda }(\alpha f+g)(n)=\lambda (\alpha f+g)(n+1)-n(\alpha f+g)(n)=\alpha {\mathcal{L}}_{\lambda }f(n)+{\mathcal{L}}_{\lambda }g(n)$. Soit $f\in \mathcal{F}$. Pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$|{\mathcal{L}}_{\lambda }f(n)|\le \lambda |f(n+1)|+n|f(n)|\le (\lambda +n)\Vert f{\Vert }_{\infty }.$$

Donc ${\sum }_n|{\mathcal{L}}_{\lambda }f(n)|p_n\le \Vert f{\Vert }_{\infty }{\sum }_n(\lambda +n)p_n=\Vert f{\Vert }_{\infty }(\lambda +\mathbb{E}[Z_{\lambda }])=2\lambda \Vert f{\Vert }_{\infty }<\infty$ : ${\mathcal{L}}_{\lambda }f\in {\mathcal{G}}_{\lambda }$ et

$$\Vert {\mathcal{L}}_{\lambda }f{\Vert }_{(\lambda )}\le 2\lambda \Vert f{\Vert }_{\infty }.$$

Une application linéaire entre espaces normés vérifiant une telle majoration est continue (elle est $2\lambda$-lipschitzienne) : ${\mathcal{L}}_{\lambda }\in {\mathcal{L}}_c(\mathcal{F},{\mathcal{G}}_{\lambda })$.

Q4c. De même, $|{\mathcal{L}}_{\lambda }f(X)|\le \Vert f{\Vert }_{\infty }(\lambda +X)$ ; la variable $\lambda +X$ est $L^1$ car $X$ l'est ; par croissance de l'espérance (domination d'une variable par une variable $L^1$), ${\mathcal{L}}_{\lambda }f(X)\in L^1$ et $\mathbb{E}[|{\mathcal{L}}_{\lambda }f(X)|]\le \Vert f{\Vert }_{\infty }(\lambda +\mathbb{E}[X])$.

Q5a. Posons $q_n=\mathbb{P}(X=n)$. D'après Q4c, $\mathbb{E}[{\mathcal{L}}_{\lambda }f(X)]$ est défini pour tout $f\in \mathcal{F}$, et vaut ${\sum }_n(\lambda f(n+1)-nf(n))q_n$.