Corrigé ENS Ulm 2026 Maths D MP — Partie 1.2 (Q9a à Q12) : Approximation poissonienne de sommes de Bernoulli, indépendantes puis dépendantes ; binomiale contre Poisson

Sujet officiel du concours ENS Ulm, session 2026, épreuve Maths D MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$N \geq 2$ ; $X_{i}$ suit la loi $B (p_{i})$ , $p_{i} \in] 0, 1 [$ ; $B_{1} = \sum_{i} p_{i}^{2}$ , $λ = \sum_{i} p_{i}$ , $W = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}$ , $W_{i} = \sum_{j \neq = i} X_{j}$ ; $f \in F$ ; notations $L_{λ}$ , $F$ , $Z_{λ}$ de la partie 1.1.

Cas indépendant (1.2.1). Q9a. $E [L_{λ} f (W)] = \sum_{i} p_{i} E [f (W + 1) - f (W_{i} + 1)]$ .
Q9b. $sup_{A \subset N} ∣ P (W \in A) - P (Z_{λ} \in A) ∣ \leq 2 e B_{1}$ .
Q10. Si $Y_{n}$ suit la loi $B (n, λ / n)$ : $P (Y_{n} = k) - e^{- λ} λ^{k} / k! \leq 2 e λ^{2} / n$ pour tout $k \geq 0$ .

Cas dépendant (1.2.2). $D_{i} = {j \neq = i : X_{i} et X_{j} non ind e ˊ pendantes}$ , $T_{i} = \sum_{j \in D_{i}} X_{j}$ , $S_{i} = W - T_{i} - X_{i}$ , $p_{ij} = E [X_{i} X_{j}]$ , $B_{2} = \sum_{i} \sum_{j \in D_{i}} p_{i} p_{j}$ , $B_{3} = \sum_{i} \sum_{j \in D_{i}} p_{ij}$ .
Q11. $E [L_{λ} f (W)] = \sum_{i} (p_{i} E [f (W + 1) - f (S_{i} + 1)] - E [X_{i} (f (S_{i} + T_{i} + 1) - f (S_{i} + 1))])$ .
Q12. $sup_{A \subset N} ∣ P (W \in A) - P (Z_{λ} \in A) ∣ \leq 2 e (B_{1} + B_{2} + B_{3})$ .

Corrigé

Toutes les variables en jeu ici sont bornées ( $0 \leq W \leq N$ ) et $f$ est bornée : toutes les espérances écrites existent.

Q9a. Par définition, $L_{λ} f (W) = λ f (W + 1) - W f (W)$ , et par linéarité de l'espérance,

$E [L_{λ} f (W)] = i = 1 \sum N p_{i} E [f (W + 1)] - i = 1 \sum N E [X_{i} f (W)] .$

Pour chaque $i$ , $X_{i} f (W) = X_{i} f (W_{i} + 1)$ : sur ${X_{i} = 1}$ on a $W = W_{i} + 1$ , et sur ${X_{i} = 0}$ les deux membres sont nuls. Or $W_{i}$ est une fonction de $(X_{j})_{j \neq = i}$ ; par le lemme des coalitions, $X_{i}$ et $f (W_{i} + 1)$ sont indépendantes, et l'espérance d'un produit de variables indépendantes bornées donne $E [X_{i} f (W_{i} + 1)] = p_{i} E [f (W_{i} + 1)]$ . D'où

$E [L_{λ} f (W)] = i = 1 \sum N p_{i} E [f (W + 1) - f (W_{i} + 1)] .$

Q9b. Soit $f \in F$ avec $∥ f ∥_{\infty} \leq 1$ . Comme $W = W_{i} + X_{i}$ , la différence $f (W + 1) - f (W_{i} + 1)$ est nulle sur ${X_{i} = 0}$ et vaut $f (W_{i} + 2) - f (W_{i} + 1)$ , de valeur absolue au plus $2$ , sur ${X_{i} = 1}$ . Donc $∣ f (W + 1) - f (W_{i} + 1) ∣ \leq 2 X_{i}$ et $∣ E [f (W + 1) - f (W_{i} + 1)] ∣ \leq 2 p_{i}$ . Par Q9a,

$E [L_{λ} f (W)] \leq i = 1 \sum N p_{i} \cdot 2 p_{i} = 2 B_{1} .$

La variable $W$ est à valeurs dans $N$ (et $L^{1}$ ) : Q8 donne $sup_{A} ∣ P (W \in A) - P (Z_{λ} \in A) ∣ \leq e \cdot 2 B_{1} = 2 e B_{1}$ .

Q10. Soit $n \geq 1$ . Pour que $B (n, λ / n)$ ait un sens, il faut $λ / n \leq 1$ .

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