Corrigé ENS Ulm 2026 Maths D MP — Partie 2.1 (Q13a à Q14c) : Espérance conditionnelle discrète : positivité, espérance totale, propriétés de calcul

Soit $M={\sup }_{x\in E}|x|<\infty$. Deux remarques servent partout.

(P) L'événement $\{Y\notin F_Y\}$ est négligeable : c'est la réunion dénombrable des événements $\{Y=y\}$, $y\in F\setminus F_Y$, tous de probabilité nulle ; par sous-additivité dénombrable, $\mathbb{P}(Y\notin F_Y)=0$.

(L) Formule de calcul. Pour $y\in F_Y$,

$$\varphi (y)=\frac{\mathbb{E}[X{1}_{Y=y}]}{\mathbb{P}(Y=y)}.$$

En effet, la série ${\sum }_{x}x\mathbb{P}(X=x,Y=y)$ converge absolument (ses termes sont majorés par $M\mathbb{P}(X=x)$) ; et la variable $X{1}_{Y=y}$ prend la valeur $x\ne 0$ exactement sur $\{X=x,Y=y\}$, donc, par la formule de transfert, $\mathbb{E}[X{1}_{Y=y}]={\sum }_{x}x\mathbb{P}(X=x,Y=y)=\mathbb{P}(Y=y)\varphi (y)$. Au passage, $|\varphi (y)|\le {\sum }_x|x|\mathbb{P}(X=x|Y=y)\le M$ : $\varphi$ est bornée par $M$. La formule (L) montre aussi que si $X=X^{\prime }$ presque sûrement, alors $\mathbb{E}[X|Y]=\mathbb{E}[X^{\prime }|Y]$ (partout).

Q13a. Si $X\ge 0$ presque sûrement, alors $\mathbb{P}(X=x)=0$ pour tout $x\in E$ avec $x<0$. Pour $y\in F_Y$ et $x<0$, $\mathbb{P}(X=x|Y=y)\le \mathbb{P}(X=x)/\mathbb{P}(Y=y)=0$, donc $\varphi (y)={\sum }_{x\ge 0}x\mathbb{P}(X=x|Y=y)\ge 0$ ; et $\varphi (y)=0$ si $y\notin F_Y$. Ainsi $\varphi \ge 0$ sur $F$ et $\mathbb{E}[X|Y]=\varphi (Y)\ge 0$ (partout, donc a fortiori presque sûrement). Avec la linéarité (Q14c), on en tire la croissance : si $X\le X^{\prime }$ presque sûrement, alors $\mathbb{E}[X|Y]\le \mathbb{E}[X^{\prime }|Y]$ presque sûrement.