Corrigé ENS Ulm 2026 Maths D MP — Partie 2.2 (Q15 à Q17) : Paires échangeables : inégalité de concentration abstraite par la transformée de Laplace

Sujet officiel du concours ENS Ulm, session 2026, épreuve Maths D MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$W, W^{'}$ sont à valeurs dans un ensemble dénombrable $E$ ; le couple $(W, W^{'})$ est échangeable : $(W, W^{'})$ et $(W^{'}, W)$ ont même loi. $F : E^{2} \to R$ est bornée et antisymétrique ( $F (x, y) = - F (y, x)$ ), et $ϕ$ est la fonction telle que $E [F (W, W^{'}) ∣ W] = ϕ (W)$ (au sens de la partie 2.1). On note $Δ$ la fonction telle que $Δ (W) = \frac{1}{2} E [∣ (ϕ (W) - ϕ (W^{'})) F (W, W^{'}) ∣ W]$ , et $m (θ) = E [e^{θ ϕ (W)}]$ . On admet l'existence de constantes $B \geq 0$ , $C \geq 0$ telles que $Δ (W) \leq B ϕ (W) + C$ presque sûrement.

Q15. Pour $h : E \to R$ bornée, $E [h (W) ϕ (W)] = E [h (W) F (W, W^{'})] = \frac{1}{2} E [(h (W) - h (W^{'})) F (W, W^{'})]$ , et $E [ϕ (W)] = 0$ .
Q16a. $m$ est finie et dérivable sur $R$ , et $m^{'} (θ) = \frac{1}{2} E [(e^{θ ϕ (W)} - e^{θ ϕ (W^{'})}) F (W, W^{'})]$ .
Q16b. Pour $θ \geq 0$ , $m^{'} (θ) \leq B θ m^{'} (θ) + C θ m (θ)$ ; en déduire $ln m (θ) \leq \frac{C θ ^{2}}{2 ( 1 - B θ )}$ pour $θ \in [0, 1/ B [$ .
Q17. Avec $θ = t / (C + B t)$ : $P (∣ ϕ (W) ∣ \geq t) \leq 2 exp (- \frac{t ^{2}}{2 C + 2 B t})$ pour tout $t \geq 0$ .

Corrigé

On utilise les résultats de la partie 2.1, en particulier la formule (L) : pour $y$ tel que $P (Y = y) > 0$ , la fonction associée à $E [X ∣ Y]$ vaut $E [X 1_{Y = y}] / P (Y = y)$ ; elle est bornée par $sup ∣ X ∣$ . Soit $K_{F} = sup_{E^{2}} ∣ F ∣$ ; la variable $F (W, W^{'})$ est à valeurs dans l'ensemble dénombrable borné $F (E^{2})$ , donc $ϕ$ est bien définie et $∣ ϕ ∣ \leq K_{F}$ sur $E$ .

Outil (échangeabilité). Pour toute $G : E^{2} \to R$ bornée, $E [G (W, W^{'})] = \sum_{(x, y)} G (x, y) P ((W, W^{'}) = (x, y)) = \sum_{(x, y)} G (x, y) P ((W^{'}, W) = (x, y)) = E [G (W^{'}, W)]$ .

Q15. Soit $h$ bornée. D'après Q13d, $E [h (W) F (W, W^{'}) ∣ W] = h (W) ϕ (W)$ presque sûrement ; en prenant l'espérance et avec Q13b,

$E [h (W) ϕ (W)] = E [E [h (W) F (W, W^{'}) ∣ W]] = E [h (W) F (W, W^{'})] .$

Par l'outil appliqué à $G (x, y) = h (x) F (x, y)$ , puis l'antisymétrie :

$E [h (W) F (W, W^{'})] = E [h (W^{'}) F (W^{'}, W)] = - E [h (W^{'}) F (W, W^{'})] .$

En faisant la demi-somme des deux expressions : $E [h (W) F (W, W^{'})] = \frac{1}{2} E [(h (W) - h (W^{'})) F (W, W^{'})]$ . Avec $h = 1$ , le membre de droite est nul : $E [ϕ (W)] = 0$ .

Q16a. Finitude. $0 < e^{θ ϕ (W)} \leq e^{∣ θ ∣ K_{F}}$ , donc $m (θ) \in] 0, e^{∣ θ ∣ K_{F}}]$ .

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