Corrigé ENS Ulm 2026 Maths D MP — Partie 3.1 (Q18a à Q20) : Sommes de variables indépendantes bornées : inégalités de type Hoeffding et Bernstein

Notons $X=(X_1,\dots ,X_N)$ et $X^{\prime }=(X_1^{\prime },\dots ,X_N^{\prime })$. Indépendances utiles. (i) Pour tout $i$, la famille $(X_1,\dots ,X_N,X_i^{\prime })$ est indépendante : $\mathbb{P}(X_1\in A_1,\dots ,X_N\in A_N,X_i^{\prime }\in A)=\mathbb{P}(X\in A_1\times \cdots \times A_N)\mathbb{P}(X_i^{\prime }\in A)={\prod }_j\mathbb{P}(X_j\in A_j)\mathbb{P}(X_i^{\prime }\in A)$. (ii) Le couple $(I,X^{\prime })$ est indépendant de $X$ : $\mathbb{P}(I=i,X^{\prime }\in A^{\prime },X\in A)=\mathbb{P}(I=i)\mathbb{P}(X^{\prime }\in A^{\prime })\mathbb{P}(X\in A)$ et $\mathbb{P}(I=i,X^{\prime }\in A^{\prime })=\mathbb{P}(I=i)\mathbb{P}(X^{\prime }\in A^{\prime })$. En particulier $I$ est indépendante de $S_N$, et toute fonction de $(I,X^{\prime })$ est indépendante de $S_N$.

Toutes les variables considérées ($S_N,S_N^{\prime }$, $X_I$, $X_I^{\prime }$…) sont bornées et à valeurs dans des ensembles dénombrables : les espérances conditionnelles de la partie 2.1 ont un sens.

Q18a. Soit $R_i={\sum }_{j\ne i}{X}_j$. Par indépendance de $I$ et de $(X,X^{\prime })$, pour tous $a,b$,

$$\mathbb{P}(S_N=a,S_N^{\prime }=b)=\sum _{i=1}^N\frac{1}{N}\mathbb{P}(R_i+X_i=a,R_i+X_i^{\prime }=b).$$

Par (i) et le lemme des coalitions, $R_i$, $X_i$, $X_i^{\prime }$ sont indépendantes ; comme $X_i$ et $X_i^{\prime }$ ont même loi, les triplets $(R_i,X_i,X_i^{\prime })$ et $(R_i,X_i^{\prime },X_i)$ ont même loi (la loi d'un triplet indépendant est le produit des lois). Donc $\mathbb{P}(R_i+X_i=a,R_i+X_i^{\prime }=b)=\mathbb{P}(R_i+X_i^{\prime }=a,R_i+X_i=b)$, et en sommant, $\mathbb{P}(S_N=a,S_N^{\prime }=b)=\mathbb{P}(S_N^{\prime }=a,S_N=b)$ : le couple est échangeable.

Q18b. Soit $s$ avec $\mathbb{P}(S_N=s)>0$. Par indépendance de $I$ et $X$,