Corrigé ENS Ulm 2026 Maths D MP — Partie 3.3 (Q24 à Q27) : Modèle de Curie-Weiss : dynamique de Glauber et concentration de la magnétisation

Décomposition clé. Notons $H(\sigma )=\frac{\beta }{N}{\sum }_{i<j}{\sigma }_i{\sigma }_j+\beta h{\sum }_i{\sigma }_i$ et, pour $i\in \{1,\dots ,N\}$, $a_i(\sigma )=\beta m_i(\sigma )+\beta h=\frac{\beta }{N}{\sum }_{j\ne i}{\sigma }_j+\beta h$. En isolant les termes contenant ${\sigma }_i$ (chaque paire $\{i,j\}$ figure une seule fois dans ${\sum }_{k<l}$) :

$$H(\sigma )={\sigma }_i{a}_i(\sigma )+R_i(\sigma ),R_i(\sigma )=\frac{\beta }{N}\sum _{\begin{array}{c}k<l\\ k,l\ne i\end{array}}{\sigma }_k{\sigma }_l+\beta h\sum _{k\ne i}{\sigma }_k,$$

où $a_i(\sigma )$ et $R_i(\sigma )$ ne dépendent que de $({\sigma }_j{)}_{j\ne i}$. Toute configuration $\sigma$ a une probabilité strictement positive.

Q24. Soit $Y=(X_j{)}_{j\ne i_0}$, à valeurs dans $\{-1,1{\}}^{N-1}$ ; pour $\tau$ dans cet ensemble, notons $(\tau ,s)$ la configuration valant $\tau$ hors de $i_0$ et $s$ en $i_0$, et $a=a_{i_0}(\tau ,s)$, $R=R_{i_0}(\tau ,s)$ (indépendants de $s$). Par la formule (L) de la partie 2.1,

$$\frac{\mathbb{E}[X_{i_0}{1}_{Y=\tau }]}{\mathbb{P}(Y=\tau )}=\frac{\mathbb{P}(X=(\tau ,1))-\mathbb{P}(X=(\tau ,-1))}{\mathbb{P}(X=(\tau ,1))+\mathbb{P}(X=(\tau ,-1))}=\frac{{\mathrm{e}}^R({\mathrm{e}}^a-{\mathrm{e}}^{-a})}{{\mathrm{e}}^R({\mathrm{e}}^a+{\mathrm{e}}^{-a})}=\tanh a.$$

Comme $a=a_{i_0}(X)=\beta m_{i_0}(X)+\beta h$ sur $\{Y=\tau \}$, on obtient $\mathbb{E}[X_{i_0}|Y]=\tanh (\beta m_{i_0}(X)+\beta h)$ (partout, a fortiori presque sûrement).

Q25a. Les deux probabilités conditionnelles (l'énoncé écrit « $1\le j\le n$ », il faut lire $1\le j\le N$) ont pour somme $1$, donc