Corrigé ENS Ulm 2026 Maths D MP — Partie préliminaire (Q1 à Q3) : Loi de Poisson : fonction génératrice, bornes de Chernoff sur les queues, majoration de ln(k!)

Dans tout le corrigé, on note $p_n=\mathbb{P}(Z_{\lambda }=n)={\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^n/n!>0$.

Q1. La fonction génératrice est $G(s)=\mathbb{E}[s^{Z_{\lambda }}]={\sum }_{n\ge 0}{p}_n{s}^n$, définie au moins pour $|s|\le 1$. Par la formule de transfert, pour tout réel $s$,

$$\sum _{n\ge 0}{p}_n{s}^n={\mathrm{e}}^{-\lambda }\sum _{n\ge 0}\frac{(\lambda s{)}^n}{n!}={\mathrm{e}}^{-\lambda }{\mathrm{e}}^{\lambda s},$$

la série exponentielle convergeant absolument pour tout $s$ (rayon de convergence infini). Donc

$$\boxed{G(s)={\mathrm{e}}^{\lambda (s-1)}\text{pour tout }s\in \mathbb{R}.}$$

En particulier, pour tout $u\in \mathbb{R}$, ${\mathrm{e}}^{u{Z}_{\lambda }}=({\mathrm{e}}^u{)}^{Z_{\lambda }}$ est $L^1$ et $\mathbb{E}[{\mathrm{e}}^{u{Z}_{\lambda }}]=G({\mathrm{e}}^u)=\exp (\lambda ({\mathrm{e}}^u-1))$.