Corrigé ESCP 2025 Maths ECT — Exercice 1 — Partie I (Q1.a à Q3.d) : Population à deux classes d'âge : polynôme annulateur, valeurs propres, diagonalisation, puissances de A et suite matricielle X(n+1) = A X(n)

Sujet officiel du concours ESCP, session 2025, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une population est formée de $u_{n}$ enfants et $v_{n}$ adultes à l'instant $n \in N$ , avec $u_{0} > 0$ , $v_{0} > 0$ et, pour tout $n$ , $u_{n + 1} = \frac{2}{3} u_{n} + v_{n}$ et $v_{n + 1} = \frac{1}{9} u_{n} + \frac{2}{3} v_{n}$ (système (1)). On pose

$A = (\frac{2}{3} \frac{1}{9} 1 \frac{2}{3}), P = (31 3 - 1), Q = (11 3 - 3), D = (10 0 \frac{1}{3}), X_{n} = (u_{n} v_{n}) .$

Q1.a. Vérifier que $X^{2} - \frac{4}{3} X + \frac{1}{3}$ annule $A$ .
Q1.b. En déduire les valeurs propres possibles de $A$ .
Q1.c. Calculer $A (31)$ et $A (3 - 1)$ ; en déduire les valeurs propres de $A$ .
Q2.a. Calculer $P Q$ .
Q2.b. En déduire que $P$ est inversible et exprimer $P^{- 1}$ .
Q2.c. Calculer $A P$ et $P D$ ; en déduire que $A$ est diagonalisable.
Q2.d. Montrer par récurrence que $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ pour tout $n \in N$ .
Q2.e. En déduire l'expression de $A^{n}$ donnée par l'énoncé (coefficients en $(\frac{1}{3})^{n - 1}$ , $(\frac{1}{3})^{n - 2}$ , $(\frac{1}{3})^{n}$ ).
Q3.a. Relier $X_{n + 1}$ , $X_{n}$ et $A$ .
Q3.b. En déduire $X_{n} = A^{n} X_{0}$ .
Q3.c. Exprimer $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $n$ , $u_{0}$ , $v_{0}$ .
Q3.d. Évolution de chaque population pour $n$ grand : extinction, survie ou explosion ?

Corrigé

Q1.a. On calcule d'abord le carré de $A$ , coefficient par coefficient :

$A^{2} = (\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + 1 \cdot \frac{1}{9} \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9} \frac{2}{3} \cdot 1 + 1 \cdot \frac{2}{3} \frac{1}{9} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}) = (\frac{5}{9} \frac{4}{27} \frac{4}{3} \frac{5}{9}) .$

Puis

$A^{2} - \frac{4}{3} A + \frac{1}{3} I_{2} = (\frac{5}{9} - \frac{8}{9} + \frac{3}{9} \frac{4}{27} - \frac{4}{27} \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \frac{5}{9} - \frac{8}{9} + \frac{3}{9}) = (0000) .$

Le polynôme $R (X) = X^{2} - \frac{4}{3} X + \frac{1}{3}$ est donc un polynôme annulateur de $A$ . (On retrouve le résultat du cours pour les matrices d'ordre $2$ : $X^{2} - (a + d) X + (a d - b c)$ annule $A$ , avec ici $a + d = \frac{4}{3}$ et $a d - b c = \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$ .)

Q1.b. Soit $λ$ une valeur propre de $A$ et $X$ une colonne non nulle telle que $A X = λ X$ . Alors $A^{2} X = A (λ X) = λ A X = λ^{2} X$ , d'où

$0 = (A^{2} - \frac{4}{3} A + \frac{1}{3} I_{2}) X = (λ^{2} - \frac{4}{3} λ + \frac{1}{3}) X .$

Comme $X \neq = 0$ , le nombre $λ^{2} - \frac{4}{3} λ + \frac{1}{3}$ est nul : toute valeur propre de $A$ est racine du polynôme annulateur. Le discriminant de $R$ vaut $\frac{16}{9} - \frac{4}{3} = \frac{4}{9}$ , d'où les racines $\frac{\frac{4}{3} \pm \frac{2}{3}}{2}$ , soit $1$ et $\frac{1}{3}$ ; autrement dit $R (X) = (X - 1) (X - \frac{1}{3})$ . Ainsi

$les valeurs propres possibles de A sont 1 et \frac{1}{3} .$

Ce que le correcteur attend : l'usage du polynôme annulateur (et non un calcul de $det (A - λ I_{2})$ ), et la conclusion « valeurs propres possibles » : à ce stade on n'a que des candidats.

Q1.c. On calcule

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