Corrigé ESCP 2025 Maths ECT — Exercice 1 — Partie II, suite logistique (Q6.c.i à Q6.f) : Suite logistique w(n+1) = g(w(n)) : encadrement, monotonie, limite monotone et convergence vers l'équilibre β selon la population initiale

Sujet officiel du concours ESCP, session 2025, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q6 : $α \in] 0, 1 [$ , $β > 0$ , $f (x) = α x (1 - \frac{x}{β})$ et $g (x) = x + f (x)$ sur $R^{+}$ , $w_{0} > 0$ et $w_{n + 1} = g (w_{n})$ . On utilise les tableaux de variations de $f$ et de $g$ (Q6.a.ii, Q6.b.iii) et l'ordre $β < \frac{( α + 1 ) β}{2 α} < \frac{β}{α} < \frac{( α + 1 ) β}{α}$ (Q6.b.ii).

Cas $w_{0} \in] 0, β]$ (Q6.c).
Q6.c.i. Montrer par récurrence que $w_{n} \in [0, β]$ pour tout $n \in N^{*}$ .
Q6.c.ii. Signe de $f (w_{n})$ ; monotonie de $(w_{n})$ .
Q6.c.iii. Justifier que $(w_{n})$ converge vers une limite $ℓ$ .
Q6.c.iv. Montrer que $ℓ ⩾ w_{0}$ .
Q6.c.v. Déterminer $ℓ$ à l'aide de Q6.b.i ; interprétation.

Cas $w_{0} \in [β, \frac{β}{α}]$ (Q6.d).
Q6.d.i. Montrer que $g (\frac{( α + 1 ) β}{2 α}) < \frac{β}{α}$ ; en déduire que $w_{n} \in [β, \frac{β}{α}]$ pour tout $n \in N$ .
Q6.d.ii. Monotonie de $(w_{n})$ .
Q6.d.iii. Convergence et limite de $(w_{n})$ ; interprétation.

Cas $w_{0} \in] \frac{β}{α}, \frac{( α + 1 ) β}{α} [$ (Q6.e).
Q6.e.i. Justifier, avec Q6.b.iii, que $w_{1} \in] 0, β]$ .
Q6.e.ii. Avec Q6.c, justifier que $(w_{n})$ converge et donner sa limite.

Q6.f. Est-il judicieux de choisir $w_{0} ⩾ \frac{( α + 1 ) β}{α}$ ?

Corrigé

On note $x_{0} = \frac{( α + 1 ) β}{2 α}$ l'abscisse du maximum de $g$ . D'après Q6.b.ii et Q6.b.iii, $g$ est strictement croissante sur $[0, x_{0}]$ , qui contient $[0, β]$ , et strictement décroissante sur $[x_{0}, + \infty [$ , qui contient $[\frac{β}{α}, + \infty [$ .

Cas $w_{0} \in] 0, β]$ .

Q6.c.i. Montrons, pour tout $n \in N$ , la propriété $P_{n}$ : « $w_{n}$ est bien défini et $w_{n} \in] 0, β]$ », un peu plus forte que celle demandée (elle donne en particulier $w_{n} \in [0, β]$ pour $n \in N^{*}$ ).

Initialisation. $w_{0} \in] 0, β]$ par hypothèse.

Hérédité. Supposons $P_{n}$ vraie. Comme $w_{n} \in R^{+}$ , $w_{n + 1} = g (w_{n})$ est défini. Comme $g$ est strictement croissante sur $[0, β]$ et que $0 < w_{n} ⩽ β$ ,

$g (0) < g (w_{n}) ⩽ g (β), c’est- a ˋ -dire 0 < w_{n + 1} ⩽ β,$

puisque $g (0) = 0$ et $g (β) = β$ (Q6.b.i). Donc $P_{n + 1}$ est vraie.

Par récurrence, $w_{n} \in] 0, β] \subset [0, β]$ pour tout $n \in N$ , en particulier pour tout $n \in N^{*}$ .

Q6.c.ii. D'après le tableau de Q6.a.ii, $f$ est positive sur $[0, β]$ (elle croît de $0$ à $\frac{α β}{4}$ sur $[0, \frac{β}{2}]$ , puis décroît de $\frac{α β}{4}$ à $0$ sur $[\frac{β}{2}, β]$ ). Comme $w_{n} \in [0, β]$ (Q6.c.i), $f (w_{n}) ⩾ 0$ pour tout $n \in N$ . Or $w_{n + 1} - w_{n} = f (w_{n})$ : la suite $(w_{n})$ est croissante.

Q6.c.iii. La suite $(w_{n})$ est croissante (Q6.c.ii) et majorée par $β$ (Q6.c.i) : d'après le théorème de la limite monotone, elle converge. On note $ℓ$ sa limite.

Q6.c.iv. La suite étant croissante, $w_{n} ⩾ w_{0}$ pour tout $n \in N$ . Par passage à la limite dans cette inégalité large (compatibilité de la limite avec l'ordre), $ℓ ⩾ w_{0}$ . En particulier $ℓ > 0$ .

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Corrigé ESCP 2025 Maths ECT — Exercice 1 — Partie II, suite logistique (Q6.c.i à Q6.f) : Suite logistique w(n+1) = g(w(n)) : encadrement, monotonie, limite monotone et convergence vers l'équilibre β selon la population initiale

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Corrigé

Cas w0​∈]0,β].

Cas $w_{0} \in] 0, β]$ .