Corrigé ESCP 2025 Maths ECT — Exercice 1 — Partie II, taux fixe et fonctions (Q5.a à Q6.b.iii) : Croissance à taux fixe (suite géométrique de raison 1 + r), puis étude des trinômes f et g du modèle logistique

Sujet officiel du concours ESCP, session 2025, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On note $w_{n}$ la taille de la population à l'instant $n \in N$ , avec $w_{0} > 0$ .

Croissance à taux fixe (Q5). Il existe $r \in [- 1, + \infty [$ tel que $w_{n + 1} - w_{n} = r w_{n}$ pour tout $n \in N$ .
Q5.a. Montrer que $(w_{n})$ est géométrique ; exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$ , $r$ , $w_{0}$ .
Q5.b. Pourquoi a-t-on choisi $r \in [- 1, + \infty [$ ?
Q5.c. Selon que $r \in [- 1, 0 [$ , $r = 0$ ou $r > 0$ , déterminer la limite éventuelle de $(w_{n})$ ; interprétation ; le modèle est-il toujours réaliste ?

Croissance logistique (Q6). Soient $α \in] 0, 1 [$ et $β > 0$ . On pose, pour $x \in R^{+}$ , $f (x) = α x (1 - \frac{x}{β})$ et $g (x) = x + f (x)$ , et la suite vérifie $w_{n + 1} = w_{n} + f (w_{n}) = g (w_{n})$ .
Q6.a.i. Résoudre $f (x) = 0$ sur $R$ .
Q6.a.ii. Tableau de variations de $f$ sur $[0, + \infty [$ , avec sa limite en $+ \infty$ et les réels de Q6.a.i.
Q6.b.i. Résoudre sur $R$ les équations $g (x) = 0$ , $g (x) = x$ et $g (x) = β$ .
Q6.b.ii. Montrer que $β < \frac{( α + 1 ) β}{2 α} < \frac{β}{α} < \frac{( α + 1 ) β}{α}$ .
Q6.b.iii. Tableau de variations de $g$ sur $[0, + \infty [$ , avec sa limite en $+ \infty$ et les réels de Q6.b.i.

Corrigé

Q5.a. Pour tout $n \in N$ , $w_{n + 1} = w_{n} + r w_{n} = (1 + r) w_{n}$ . La suite $(w_{n})$ est donc géométrique de raison $1 + r$ (et non de raison $r$ ), de premier terme $w_{0}$ , d'où

$\forall n \in N, w_{n} = (1 + r)^{n} w_{0} .$

Q5.b. Le réel $r$ est le taux de variation de la population d'un instant au suivant ( $r = - 0, 1$ : la population perd $10 %$ de son effectif). Une population ne peut pas perdre plus que la totalité de son effectif : $r ⩾ - 1$ . Mathématiquement, une taille de population est positive ; or $w_{1} = (1 + r) w_{0}$ avec $w_{0} > 0$ , donc $w_{1} ⩾ 0$ impose $1 + r ⩾ 0$ , c'est-à-dire $r ⩾ - 1$ . Si l'on avait $r < - 1$ , la raison $1 + r$ serait strictement négative et les termes $w_{n}$ changeraient de signe à chaque instant ( $w_{1} < 0$ , $w_{2} > 0$ , …), ce qui n'a pas de sens pour un effectif. Avec $r ⩾ - 1$ , $1 + r ⩾ 0$ et tous les $w_{n}$ sont positifs.

Q5.c. On utilise la limite d'une suite géométrique $(q^{n})$ : elle tend vers $0$ si $- 1 < q < 1$ , vaut constamment $1$ si $q = 1$ , tend vers $+ \infty$ si $q > 1$ .

Si $r \in [- 1, 0 [$ , alors $q = 1 + r \in [0, 1 [$ . Si $r = - 1$ , $w_{n} = 0$ pour tout $n ⩾ 1$ ; sinon $0 < q < 1$ et $q^{n} \to 0$ . Dans les deux cas $lim w_{n} = 0$ (car $w_{0}$ est une constante) : extinction de la population.
Si $r = 0$ , $w_{n} = w_{0}$ pour tout $n$ : la suite est constante, de limite $w_{0} > 0$ : survie, la population est à l'équilibre (naissances et décès se compensent exactement).
Si $r > 0$ , $q = 1 + r > 1$ , donc $q^{n} \to + \infty$ et, comme $w_{0} > 0$ , $lim w_{n} = + \infty$ : explosion.

Le modèle n'est pas toujours réaliste. Le cas $r > 0$ prédit une croissance sans fin, alors qu'un milieu (nourriture, espace) ne peut nourrir qu'un effectif limité. Le cas $r = 0$ suppose un équilibre parfait et figé, que la moindre variation du taux détruit. Enfin, le taux de croissance d'une population dépend en réalité de sa taille (il baisse quand elle devient trop nombreuse) : c'est ce que prend en compte le modèle logistique de Q6.

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →