Corrigé ESCP 2025 Maths ECT — Exercice 2 — Simulation et premières lois (Q1.a à Q3) : Pion sur un axe gradué : simulation Python, moyenne empirique et loi des grands nombres, lois de X1 et X2

Q1.a. Si la bille tirée a un numéro strictement supérieur à la position position[j], le pion avance d'une unité ; sinon il recule d'une unité. La fonction renvoie le tableau de toutes les positions. Les lignes complétées sont :

import numpy as np
import numpy.random as rd

def deplacement_pion(n, k):
    position = np.zeros(k+1)
    for j in range(0, k):
        bille = rd.randint(1, n+1)
        if position[j] < bille:
            position[j+1] = position[j] + 1
        else:
            position[j+1] = position[j] - 1
    return position

np.zeros(k+1) crée un tableau de $k+1$ zéros, dont la case $0$ contient la position initiale $X_0=0$ ; rd.randint(1,n+1) renvoie un entier uniforme de $[[1,n]]$ (la borne de droite est exclue), ce qui simule le tirage d'une bille. Au tour $j$, la case $j+1$ reçoit la nouvelle position, calculée à partir de la case $j$.

Q1.b.

position = deplacement_pion(20, 10)
print(position[10])

La case d'indice $10$ (la dernière, que l'on peut aussi écrire position[-1]) contient la position après le dixième déplacement. Une exécution a affiché 6.0 : le résultat est un flottant, car np.zeros crée un tableau de flottants. Le pion changeant de position d'une unité à chaque déplacement, la position finale est toujours un entier pair de $[[0,10]]$.