Corrigé ESCP 2025 Maths ECT — Exercice 3 — Partie I (Q1 à Q4) : Densité puissance sur le segment unité : dérivabilité sur un segment, suite de fonctions fn = αⁿ f0, fonction de répartition et variance

Sujet officiel du concours ESCP, session 2025, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Convention de l'exercice. Une fonction $f$ est dite dérivable sur $[a, b]$ ( $a < b$ ) si elle est dérivable sur $] a, b [$ et si $f^{'}$ admet des limites finies, notées $f^{'} (a)$ en $a^{+}$ et $f^{'} (b)$ en $b^{-}$ . Partant d'une fonction $f_{0}$ définie sur $R$ , on définit par récurrence, pour $n \in N$ :

$f_{n + 1} (t) = t f_{n}^{'} (t) si t \in [0, 1], f_{n + 1} (t) = 0 sinon (2) .$

On cherche $c_{n}$ tel que $c_{n} f_{n}$ soit une densité d'une variable $X_{n}$ . Dans cette partie, $α ⩾ 1$ est fixé et $f_{0} (t) = (α + 1) t^{α}$ si $t \in [0, 1]$ , $f_{0} (t) = 0$ sinon.

Q1. Montrer que $f_{0}$ est une densité de probabilité (d'une variable $X_{0}$ ).
Q2.a. Montrer que $f_{0}$ est dérivable sur $[0, 1]$ au sens de la convention.
Q2.b. Montrer que $f_{n} = α^{n} f_{0}$ sur $R$ .
Q2.c. En déduire un réel positif $c_{n}$ tel que $c_{n} f_{n}$ soit une densité (d'une variable $X_{n}$ ).
Q2.d. Justifier que $X_{n}$ suit la même loi que $X_{0}$ .
On note $X_{α}$ une variable de même loi que $X_{0}$ et $F_{X_{α}}$ sa fonction de répartition.
Q3. Calculer $F_{X_{α}} (x)$ selon que $x ⩽ 0$ , $x \in] 0, 1]$ ou $x > 1$ .
Q4. Déterminer, si elle existe, la variance $V (X_{α})$ .

Corrigé

Pour $t > 0$ , $t^{α} = e^{α l n t}$ ; comme $α > 0$ , $t^{α} \to 0$ quand $t \to 0^{+}$ , et l'on a $0^{α} = 0$ : la fonction $t \mapsto t^{α}$ est continue sur $[0, 1]$ , dérivable sur $] 0, 1]$ , de dérivée $t \mapsto α t^{α - 1}$ .

Q1. On vérifie les trois conditions de la définition d'une densité.

Positivité. Sur $[0, 1]$ , $f_{0} (t) = (α + 1) t^{α} ⩾ 0$ car $α + 1 > 0$ et $t^{α} ⩾ 0$ ; ailleurs $f_{0} (t) = 0$ . Donc $f_{0} ⩾ 0$ sur $R$ .
Continuité. $f_{0}$ est continue sur $] - \infty, 0 [$ et sur $] 1, + \infty [$ (fonction nulle), et sur $] 0, 1 [$ (fonction puissance). Elle est même continue en $0$ (limite $0$ à gauche comme à droite, et $f_{0} (0) = 0$ ). Elle n'est discontinue qu'en $1$ , où elle saute de $α + 1$ à $0$ : $f_{0}$ est continue sur $R$ privé d'un nombre fini de points.
Intégrale. $f_{0}$ étant nulle hors de $[0, 1]$ , l'intégrale $\int_{- \infty}^{+ \infty} f_{0} (t) d t$ converge et, par la relation de Chasles,

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f_{0} (t) d t = \int_{0}^{1} (α + 1) t^{α} d t = [t^{α + 1}]_{0}^{1} = 1.$

Donc $f_{0}$ est une densité de probabilité : il existe une variable aléatoire $X_{0}$ admettant $f_{0}$ pour densité.

Q2.a. Sur $] 0, 1 [$ , $f_{0} (t) = (α + 1) t^{α}$ est dérivable et

$f_{0}^{'} (t) = α (α + 1) t^{α - 1} .$

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