Corrigé ESCP 2025 Maths ECT — Exercice 3 — Partie II (Q5 à Q11) : Densité exponentielle sur le segment unité : constante de normalisation, espérance par parties, fn = Pn exp et encadrement des intégrales

Sujet officiel du concours ESCP, session 2025, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes conventions que dans la partie I (dérivabilité sur un segment, relation (2) : $f_{n + 1} (t) = t f_{n}^{'} (t)$ sur $[0, 1]$ , $0$ ailleurs). Ici $f_{0} (t) = e^{t}$ si $t \in [0, 1]$ , $f_{0} (t) = 0$ sinon. On admet : pour $n \in N^{*}$ , $f_{n}$ existe, est continue et dérivable sur $[0, 1]$ , de dérivée continue sur $[0, 1]$ ; les polynômes définis par $P_{0} = 1$ et $P_{n + 1} (x) = x (P_{n}^{'} (x) + P_{n} (x))$ sont positifs sur $[0, 1]$ et vérifient $P_{n}^{'} (1) ⩾ 0$ .

Q5. Déterminer $c_{0}$ tel que $c_{0} f_{0}$ soit une densité (d'une variable $X_{0}$ ).
Q6. Déterminer, si elle existe, $E (X_{0})$ .
Q7. Exprimer $\int_{0}^{1} f_{n + 1} (t) d t$ en fonction de $f_{n} (1)$ et de $\int_{0}^{1} f_{n} (t) d t$ .
Q8. Montrer par récurrence que $f_{n} (t) = P_{n} (t) e^{t}$ pour tout $t \in [0, 1]$ .
Q9. Vérifier que $f_{n + 1} (1) = f_{n} (1) + e P_{n}^{'} (1) ⩾ f_{n} (1)$ .
Q10. Avec Q7 et Q9, montrer que $0 < \int_{0}^{1} f_{n} (t) d t < f_{n} (1)$ pour tout $n \in N$ .
Q11. En déduire un réel positif $c_{n}$ tel que $c_{n} f_{n}$ soit une densité (d'une variable $X_{n}$ ).

Corrigé

Dans toute la suite, on note $I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (t) d t$ , et l'on travaille sur $[0, 1]$ avec la restriction de $f_{n}$ à ce segment : c'est elle qui est continue et de dérivée continue sur $[0, 1]$ (pour $n = 0$ , c'est la fonction exponentielle ; pour $n ⩾ 1$ , c'est le premier résultat admis).

Q5. La fonction $f_{0}$ est positive sur $R$ ( $e^{t} > 0$ , et $0$ ailleurs), continue sur $R$ sauf en $0$ et en $1$ , où elle saute (de $0$ à $e^{0} = 1$ en $0$ , de $e$ à $0$ en $1$ ). Nulle hors de $[0, 1]$ , elle a une intégrale convergente sur $R$ :

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f_{0} (t) d t = \int_{0}^{1} e^{t} d t = [e^{t}]_{0}^{1} = e - e^{0} = e - 1.$

Pour $c_{0} > 0$ , la fonction $c_{0} f_{0}$ est positive et continue sauf en deux points ; elle est une densité si et seulement si son intégrale vaut $1$ , c'est-à-dire $c_{0} (e - 1) = 1$ :

$c_{0} = \frac{1}{e - 1} .$

Ce que le correcteur attend : $e^{0} = 1$ (et non $0$ ) ; $c_{0} > 0$ car $e > 1$ .

Q6. La densité $c_{0} f_{0}$ étant nulle hors de $[0, 1]$ , l'intégrale $\int_{- \infty}^{+ \infty} t c_{0} f_{0} (t) d t$ se réduit à l'intégrale d'une fonction continue sur le segment $[0, 1]$ : elle converge, et $X_{0}$ admet une espérance,

$E (X_{0}) = \frac{1}{e - 1} \int_{0}^{1} t e^{t} d t .$

Intégration par parties avec $u (t) = t$ , $v^{'} (t) = e^{t}$ , soit $u^{'} (t) = 1$ , $v (t) = e^{t}$ : les fonctions $u$ , $v$ , $u^{'}$ , $v^{'}$ sont continues sur $[0, 1]$ , donc

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