Corrigé ESCP 2026 Maths ECT — Exercice 1 — Parties I et II (Q1 à Q9) : Polynôme annulateur, spectre et inversibilité de M ; puissances paires et impaires de T par le binôme avec N nilpotente

Q1. On factorise $x^2-4=(x-2)(x+2)$, d'où

$$R(x)=(x-2)(x+2)(x-2)=(x-2{)}^2(x+2).$$

Un produit de réels est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est : $R(x)=0⟺x=2$ ou $x=-2$. Les racines de $R$ sont donc

$$\boxed{2\text{(racine double)}\text{et}-2.}$$

Q2. D'après le théorème du cours (le « crible ») : si $Q$ est un polynôme annulateur de $M$, toute valeur propre de $M$ est racine de $Q$. Rappelons pourquoi. Si $\lambda$ est valeur propre, il existe une colonne $X$ non nulle telle que $MX=\lambda X$ ; alors $M^{2}X={\lambda }^{2}X$, $M^{3}X={\lambda }^{3}X$, et comme $R(M)=M^3-2M^2-4M+8I_3=O_3$,

$$0=R(M)X=({\lambda }^3-2{\lambda }^2-4\lambda +8)X=R(\lambda )X,$$

donc $R(\lambda )=0$ puisque $X\ne 0$. Par Q1,

$$\boxed{\text{les seules valeurs propres possibles de }M\text{ sont }-2\text{ et }2.}$$

(Le développement $(x^2-4)(x-2)=x^3-2x^2-4x+8$ a été utilisé.) À ce stade, ce ne sont que des candidats.

Q3. Produit d'une matrice par une colonne, ligne par ligne :