Corrigé ESCP 2026 Maths ECT — Exercice 1 — Parties III et IV (Q10 à Q19) : Inverse de T, puissances entières relatives de T, puis M = 2PTP⁻¹ et puissances de M et de son inverse par récurrence

Sujet officiel du concours ESCP, session 2026, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes matrices $M$ , $T$ , $N$ que dans la partie précédente ( $T^{2} = I_{3} + N$ , $N^{2} = O_{3}$ , $T^{2 n} = I_{3} + n N$ ), et

$P = 110011101 .$

Partie III.
Q10. Justifier que $T$ est inversible et calculer $T^{- 1}$ .
Q11. Vérifier que $(T^{- 1})^{2} = I_{3} - N$ .
Q12. En adaptant la partie II, exprimer $(T^{- 1})^{2 n}$ et $(T^{- 1})^{2 n + 1}$ pour $n \in N$ .
Q13. Pour $k \in N$ , montrer que $(T^{- 1})^{k} = (T^{k})^{- 1}$ ; on note $T^{- k}$ cette matrice.
Q14. Pour $j \in Z$ , exprimer $T^{2 j}$ et $T^{2 j + 1}$ .

Partie IV.
Q15. Justifier que $P$ est inversible.
Q16. Calculer $M P$ et $P T$ .
Q17. Trouver un réel $a \neq = 0$ tel que $M = a P T P^{- 1}$ .
Q18. Justifier que $M^{- 1} = \frac{1}{a} P T^{- 1} P^{- 1}$ .
Q19. Montrer par récurrence que, pour tout $n \in N$ , $M^{n} = a^{n} P T^{n} P^{- 1}$ et $(M^{- 1})^{n} = \frac{1}{a ^{n}} P T^{- n} P^{- 1}$ .

Corrigé

Q10. La matrice $T$ est triangulaire supérieure et ses coefficients diagonaux $- 1$ , $1$ , $1$ sont tous non nuls : d'après le critère d'inversibilité des matrices triangulaires, $T$ est inversible.

Pour calculer $T^{- 1}$ , résolvons le système $T X = Y$ , avec $X = x y z$ et $Y = α β γ$ :

$⎩ ⎨ ⎧ - x + y = α y + z = β z = γ ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ z = γ y = β - γ x = y - α = - α + β - γ$

(on remonte le système triangulaire). Le système a une unique solution $X = T^{- 1} Y$ , et les coefficients de $α, β, γ$ forment les lignes de $T^{- 1}$ :

$T^{- 1} = - 1 00 110 - 1 - 1 1 = T - N .$

Contrôle : $T T^{- 1}$ a pour première ligne $((- 1) (- 1), - 1 + 1, 1 - 1) = (1, 0, 0)$ , deuxième ligne $(0, 1, - 1 + 1) = (0, 1, 0)$ , troisième ligne $(0, 0, 1)$ : c'est $I_{3}$ .

Variante sans calcul : $(I_{3} + N) (I_{3} - N) = I_{3} - N^{2} = I_{3}$ , donc $T (T (I_{3} - N)) = T^{2} (I_{3} - N) = I_{3}$ , et $T (I_{3} - N) = T - T N = T - N$ car $T N = N$ .

Q11. On calcule le carré, ligne de $T^{- 1}$ contre colonne de $T^{- 1}$ :

$(T^{- 1})^{2} = 1 + 0 + 0 00 - 1 + 1 + 0 10 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 = 100010 - 1 - 2 1 = I_{3} - N .$

Q12. Puissances paires. $(T^{- 1})^{2 n} = ((T^{- 1})^{2})^{n} = (I_{3} - N)^{n}$ . Les matrices $I_{3}$ et $- N$ commutent et $(- N)^{k} = (- 1)^{k} N^{k} = O_{3}$ pour $k ⩾ 2$ ; la formule du binôme donne, comme en Q8 (le cas $n = 0$ se vérifiant directement),

$(T^{- 1})^{2 n} = I_{3} - n N = 100010 - n - 2 n 1 .$

Puissances impaires. $(T^{- 1})^{2 n + 1} = (T^{- 1})^{2 n} T^{- 1} = (I_{3} - n N) T^{- 1} = T^{- 1} - n N T^{- 1}$ . La ligne $i$ de $N T^{- 1}$ vaut $N_{i 3}$ fois la troisième ligne $(001)$ de $T^{- 1}$ , donc $N T^{- 1} = N$ . Ainsi

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