Corrigé ESCP 2026 Maths ECT — Exercice 2 — Partie I (Q20 à Q28) : Inégalité ln(1+x) ≤ x, suite u = H − ln décroissante et positive, limite monotone et équivalent H(n) ~ ln(n)

Q20. La fonction $x\mapsto x$ est définie sur $\mathbb{R}$ ; $\ln (1+x)$ existe si et seulement si $1+x>0$, c'est-à-dire $x>-1$. Donc

$$\boxed{D=\left]-1,+\infty \right[.}$$

Q21. $f$ est dérivable sur $D$ (composée de $x\mapsto 1+x$, à valeurs dans $\left]0,+\infty \right[$, et de $\ln$), et pour $x\in D$,

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{1-(1+x)}{1+x}=\frac{-x}{1+x}.$$

Sur $D$, $1+x>0$ : $f^{\prime }(x)$ a le signe de $-x$. Donc $f^{\prime }>0$ sur $\left]-1,0\right[$, $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime }<0$ sur $\left]0,+\infty \right[$, et

$$\boxed{f\text{ est strictement croissante sur }\left]-1,0\right]\text{ et strictement deˊcroissante sur }\left[0,+\infty \right[,}$$

avec un maximum $f(0)=\ln 1-0=0$. Limites aux bornes : quand $x\to -1^{+}$, $1+x\to 0^{+}$ donc $\ln (1+x)\to -\infty$ et $f(x)\to -\infty$ ; quand $x\to +\infty$, $f(x)=x\left(\frac{\ln (1+x)}{1+x}\cdot \frac{1+x}{x}-1\right)$, où $\frac{\ln (1+x)}{1+x}\to 0$ (croissances comparées) et $\frac{1+x}{x}\to 1$, donc la parenthèse tend vers $-1$ et $f(x)\to -\infty$.