Corrigé ESCP 2026 Maths ECT — Exercice 2 — Partie II (Q29 à Q35) : Problème du collectionneur : temps d'attente géométriques, espérance n·H(n) et équivalent n ln(n)

Modélisation implicite du sujet. Chaque achat donne l'une des $n$ cartes avec la même probabilité $\frac{1}{n}$, et les cartes obtenues lors d'achats différents sont indépendantes. C'est cette hypothèse d'équiprobabilité qui rend les calculs de Q31 et Q33 possibles.

Q29. Le premier achat donne toujours une carte nouvelle, donc $N_1=X_1$ (et $N_1=1$). Pour $j\in [[2;n]]$, une fois atteint $j-1$ cartes différentes (au $N_{j-1}$-ième achat), il faut exactement $X_j$ achats supplémentaires pour en obtenir $j$ : $N_j=N_{j-1}+X_j$, soit $N_j-N_{j-1}=X_j$. Par télescopage,

$$N_n=N_1+\sum _{j=2}^n(N_j-N_{j-1})=X_1+\sum _{j=2}^n{X}_j=\sum _{k=1}^n{X}_k.$$

Sur l'exemple du sujet ($n=4$), on a bien $N_4=1+1+3+5=10$.

Q30. Avant le premier achat on ne possède aucune carte ; la première carte achetée est donc toujours nouvelle et $X_1=1$ : $X_1$ est une variable certaine.

$$\boxed{X_1(\Omega )=\{1\},\mathbb{P}(X_1=1)=1,\mathbb{E}(X_1)=1,\mathbb{V}(X_1)=0.}$$

(En effet $\mathbb{E}(X_1)=1\cdot 1$ et $\mathbb{V}(X_1)=\mathbb{E}(X_1^2)-\mathbb{E}(X_1{)}^2=1-1=0$.)

Q31. Après le premier achat, on possède une carte. La deuxième carte achetée est l'une des $n$ cartes, chacune avec probabilité $\frac{1}{n}$, indépendamment de la première ; elle est différente de la première si et seulement si c'est l'une des $n-1$ autres cartes. La probabilité cherchée vaut donc