Corrigé ESCP 2026 Maths ECT — Exercice 3 — Partie III (Q46 à Q50) : Cas symétrique : |X − m| suit une loi exponentielle, simulation par un signe aléatoire et loi faible des grands nombres

Avec $a=b$, on a $M=\frac{a^2}{2a}=\frac{a}{2}$, $\frac{a}{a+b}=\frac{b}{a+b}=\frac{1}{2}$, donc

$$F_X(x)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{a(x-m)}\text{ si }x<m,F_X(x)=1-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-a(x-m)}\text{ si }x⩾m.$$

Q46. Une valeur absolue est positive : $Y⩾0$. Si $y<0$, l'événement $[Y⩽y]$ est impossible, donc

$$\boxed{F_Y(y)=0\text{pour }y<0.}$$

Q47. Soit $y⩾0$. Pour un réel $u$, $|u|⩽y⟺-y⩽u⩽y$. Donc

$$[Y⩽y]=[-y⩽X-m⩽y]=[m-y⩽X⩽m+y].$$

Comme $X$ est à densité, la probabilité d'un intervalle se lit sur la fonction de répartition (un point ne pèse rien) : $\mathbb{P}(m-y⩽X⩽m+y)=F_X(m+y)-F_X(m-y)$. Ainsi

$$\boxed{F_Y(y)=F_X(y+m)-F_X(-y+m)(y⩾0).}$$

Q48. Soit $y⩾0$. Comme $y+m⩾m$, $F_X(y+m)=1-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-ay}$.

• Si $y>0$ : $m-y<m$, donc $F_X(m-y)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{a(m-y-m)}=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-ay}$.
• Si $y=0$ : $F_X(m)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^0$ : la même formule vaut.

Par Q47, $F_Y(y)=1-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-ay}-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-ay}=1-{\mathrm{e}}^{-ay}$ pour $y⩾0$, et $F_Y(y)=0$ pour $y<0$ (Q46). On reconnaît la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre $a$ ; la fonction de répartition caractérisant la loi,

$$\boxed{Y=|X-m|\hookrightarrow \mathcal{E}(a).}$$

Q49. Comme $m⩾m$, par Q43(b) avec $a=b$ :

$$\mathbb{P}(X>m)=1-F_X(m)=1-(1-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^0)=\boxed{\frac{1}{2}.}$$

(Dans le cas général, $\mathbb{P}(X>m)=\frac{b}{a+b}$.) Pour $a=b$, $X$ tombe de part et d'autre de $m$ avec la même probabilité, et la distance $|X-m|$ suit $\mathcal{E}(a)$ : c'est exactement ce qu'exploite le programme de Q50.

Q50. Ce que simule Simu1_X(m,a). Attention, rd.exponential prend en argument la moyenne $\frac{1}{\lambda }$ de la loi, et non le paramètre $\lambda$ : rd.exponential(a) simule une variable $Y\hookrightarrow \mathcal{E}\left(\frac{1}{a}\right)$. Dans l'appel Simu1_X(2,1), $a=1=\frac{1}{a}$ : on simule bien $Y\hookrightarrow \mathcal{E}(1)$. Notons $\lambda =1$, $m=2$ et $W$ le nombre rendu par rd.random(), de loi uniforme sur $[0,1[$, indépendant de $Y$ (deux tirages distincts du générateur), de sorte que $\mathbb{P}(W>\frac{1}{2})=\mathbb{P}(W⩽\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$. La fonction renvoie $Z=m+Y$ si $W>\frac{1}{2}$, $Z=m-Y$ sinon. Calculons $F_Z(x)$, en utilisant $\mathbb{P}(Y⩽t)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ pour $t⩾0$ et l'indépendance :