Corrigé ESCP 2026 Maths ECT — Exercice 3 — Partie IV (Q51 à Q56) : Simulation par inversion de la fonction de répartition : bijection, réciproque, loi uniforme et programme Python

Sujet officiel du concours ESCP, session 2026, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Cas général : $X ↪ L (m, a, b)$ , $m \in R$ , $a > 0$ , $b > 0$ , avec $F_{X} (x) = \frac{a}{a + b} e^{b (x - m)}$ si $x < m$ et $F_{X} (x) = 1 - \frac{b}{a + b} e^{- a (x - m)}$ si $x ⩾ m$ .

Q51. Justifier que $F_{X}$ réalise une bijection de $] - \infty, m [$ sur $] 0, \frac{a}{a + b} [$ ; on note $F_{1}$ sa réciproque.
Q52. Montrer que $F_{1} (y) = m + \frac{1}{b} ln (\frac{a + b}{a} y)$ pour $y \in] 0, \frac{a}{a + b} [$ .
On admet de même que $F_{X}$ réalise une bijection de $[m, + \infty [$ sur $[\frac{a}{a + b}, 1 [$ , de réciproque $F_{2} (y) = m - \frac{1}{a} ln (\frac{a + b}{b} (1 - y))$ .
Soit $U$ de loi uniforme sur $] 0, 1 [$ et $T = F_{1} (U)$ si $U < \frac{a}{a + b}$ , $T = F_{2} (U)$ si $U ⩾ \frac{a}{a + b}$ ; $F_{T}$ est la fonction de répartition de $T$ .
Q53. Rappeler la fonction de répartition $F_{U}$ de $U$ .
Q54. Montrer que, si $t < m$ , $P (T ⩽ t) = P (U ⩽ F_{X} (t))$ (on admet que, si $t ⩾ m$ , $P (T > t) = P (U > F_{X} (t))$ ).
Q55. En déduire que $F_{T} = F_{X}$ .
Q56. Compléter la fonction Python Simu2_X(m,a,b) du sujet (elle tire U=rd.random(), puis un test et deux affectations de X) pour qu'elle simule $X$ ; numpy.log est la fonction $ln$ .

Corrigé

Notons $c = \frac{a}{a + b} \in] 0, 1 [$ .

Q51. Sur $] - \infty, m [$ , $F_{X} (x) = c e^{b (x - m)}$ .

$F_{X}$ y est continue et dérivable, de dérivée $x \mapsto b c e^{b (x - m)} > 0$ (car $b > 0$ , $c > 0$ ) : elle est strictement croissante.
Limites aux bornes : quand $x \to - \infty$ , $b (x - m) \to - \infty$ donc $F_{X} (x) \to 0$ ; quand $x \to m^{-}$ , $F_{X} (x) \to c e^{0} = c$ .

D'après le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue strictement monotone, étendu à un intervalle ouvert à l'aide des limites aux bornes), $F_{X}$ réalise une bijection de $] - \infty, m [$ sur l'intervalle $] 0, c [$ , les bornes $0$ et $c$ étant des limites non atteintes :

$F_{X} :] - \infty, m [\to] 0, \frac{a}{a + b} [est bijective.$

Q52. Soit $y \in] 0, c [$ . Cherchons l'unique $x < m$ tel que $F_{X} (x) = y$ :

$c e^{b (x - m)} = y ⟺ e^{b (x - m)} = \frac{y}{c} = \frac{a + b}{a} y ⟺ b (x - m) = ln (\frac{a + b}{a} y) ⟺ x = m + \frac{1}{b} ln (\frac{a + b}{a} y),$

le passage au logarithme étant licite car $\frac{a + b}{a} y > 0$ , et la division par $b > 0$ aussi. De plus $0 < \frac{a + b}{a} y < 1$ , donc le logarithme est strictement négatif et cette solution vérifie bien $x < m$ . Ainsi

$F_{1} (y) = m + \frac{1}{b} ln (\frac{a + b}{a} y) (0 < y < \frac{a}{a + b}) .$

Q53. La loi uniforme sur $] 0, 1 [$ a pour densité $1$ sur $] 0, 1 [$ et $0$ ailleurs ; sa fonction de répartition est

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