Corrigé ESCP 2026 Maths ECT — Exercice 3 — Partie V (Q57 à Q61) : Suite de lois de Laplace indépendantes : moments par parité, variance de la moyenne et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Sujet officiel du concours ESCP, session 2026, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $(X_{n})_{n \in N^{*}}$ une suite de variables mutuellement indépendantes, avec $X_{n} ↪ L (0, 2^{n}, 2^{n})$ ; le sujet en donne une densité $f_{n}$ , paire, égale à une constante fois $e^{- 2^{n} x}$ pour $x ⩾ 0$ . On pose $X_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ . Résultats admis :
(R1) si $(Y_{n})$ sont mutuellement indépendantes et admettent une variance, $V (\sum_{k = 1}^{n} Y_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} V (Y_{k})$ ;
(R2) si $\int_{0}^{+ \infty} h (x) d x$ converge, alors $\int_{- \infty}^{+ \infty} h (x) d x = 0$ si $h$ est impaire, et $= 2 \int_{0}^{+ \infty} h (x) d x$ si $h$ est paire.

Q57. Avec $S ↪ E (λ)$ , $λ > 0$ , justifier que $\int_{0}^{+ \infty} x e^{- λ x} d x = \frac{1}{λ ^{2}}$ et $\int_{0}^{+ \infty} x^{2} e^{- λ x} d x = \frac{2}{λ ^{3}}$ .
Pour Q58 à Q60, $n \in N^{*}$ .
Q58. Avec (R2) appliqué à $x \mapsto x f_{n} (x)$ , justifier l'existence de $E (X_{n})$ et la calculer.
Q59. Avec (R2), justifier l'existence de $V (X_{n})$ et la calculer.
Q60. En déduire, si elles existent, l'espérance et la variance de $X_{n}$ .
Q61. Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que $n \to + \infty lim P (X_{n} ⩾ \frac{1}{n}) = 0$ .

Corrigé

Une erreur d'énoncé à signaler. Le sujet écrit $f_{n} (x) = \frac{1}{2} e^{- 2^{n} x}$ pour $x ⩾ 0$ et $f_{n} (x) = \frac{1}{2} e^{2^{n} x}$ pour $x < 0$ . Or, d'après Q42 avec $a = b = 2^{n}$ , la constante d'une densité de $L (0, 2^{n}, 2^{n})$ vaut

$M = \frac{ab}{a + b} = \frac{4 ^{n}}{2 \cdot 2 ^{n}} = 2^{n - 1},$

et non $\frac{1}{2}$ : avec $\frac{1}{2}$ , l'intégrale de $f_{n}$ sur $R$ vaudrait $\frac{1}{2} (\frac{1}{2 ^{n}} + \frac{1}{2 ^{n}}) = \frac{1}{2 ^{n}} \neq = 1$ dès que $n ⩾ 1$ , et $f_{n}$ ne serait pas une densité. On travaille donc avec la densité correcte, conforme à la loi annoncée $L (0, 2^{n}, 2^{n})$ :

$f_{n} (x) = 2^{n - 1} e^{- 2^{n} x} si x ⩾ 0, f_{n} (x) = 2^{n - 1} e^{2^{n} x} si x < 0,$

soit $f_{n} (x) = 2^{n - 1} e^{- 2^{n} ∣ x ∣}$ pour tout réel $x$ . (La fonction $f_{n}$ est paire : $f_{n} (- x) = f_{n} (x)$ pour tout réel $x$ .) La conclusion de Q61 ne dépend pas de cette constante (voir la remarque finale).

Q57. Soit $S ↪ E (λ)$ , de densité $g (x) = λ e^{- λ x}$ si $x ⩾ 0$ , $g (x) = 0$ si $x < 0$ . D'après le cours, $S$ admet une espérance et une variance, avec $E (S) = \frac{1}{λ}$ et $V (S) = \frac{1}{λ ^{2}}$ .

Espérance. Par définition, l'intégrale $\int_{- \infty}^{+ \infty} x g (x) d x$ converge et vaut $E (S)$ ; $g$ étant nulle sur $] - \infty, 0 [$ , cela s'écrit $\int_{0}^{+ \infty} λ x e^{- λ x} d x = \frac{1}{λ}$ . En divisant par $λ > 0$ (linéarité),

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