Corrigé ESCP 2026 Maths ECT — Exercice 3 — Parties I et II (Q40 à Q45) : Loi de Laplace asymétrique : tracé et programme Python, constante de normalisation, fonction de répartition, loi de −X

Soient $m\in \mathbb{R}$, $M\in \mathbb{R}$, $a>0$, $b>0$ et $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)=M{\mathrm{e}}^{-a(x-m)}\text{ si }x⩾m,f(x)=M{\mathrm{e}}^{b(x-m)}\text{ si }x<m.(\star )$$

Partie I (seulement ici : $m=0$, $M=\frac{2}{3}$, $a=1$, $b=2$, soit $f(x)=\frac{2}{3}{\mathrm{e}}^{-x}$ si $x⩾0$, $f(x)=\frac{2}{3}{\mathrm{e}}^{2x}$ si $x<0$).
Q40. Tracer l'allure de la courbe de $f$ sur $[-1,1]$ (on donne ${\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,4$).
Q41. Compléter le programme Python du sujet traçant $f$ sur $[-1,1]$ : les deux valeurs renvoyées par la fonction f (selon le signe de x) et l'argument de f dans la boucle qui remplit le tableau B des ordonnées, les $1000$ abscisses étant dans A ; np.e vaut $\mathrm{e}$.

Partie II (cas général $(\star )$).
Q42. Valeur de $M$ (en fonction de $a$, $b$, $m$) pour que $f$ soit une densité de probabilité.
Pour ce $M$, une variable $X$ de densité $f$ suit la loi de Laplace asymétrique $\mathcal{L}(m,a,b)$ ; $F_X$ est sa fonction de répartition.
Q43. Justifier : (a) $F_X(x)=\frac{a}{a+b}{\mathrm{e}}^{b(x-m)}$ si $x<m$ ; (b) $F_X(x)=1-\frac{b}{a+b}{\mathrm{e}}^{-a(x-m)}$ si $x⩾m$.
Q44. Fonction de répartition de $-X$, sur $\left]-\infty ,-m\right]$ puis sur $\left]-m,+\infty \right[$.
Q45. En déduire que $-X$ suit une loi de Laplace asymétrique ; paramètres en fonction de $m$, $a$, $b$.