Corrigé ESCP-HEC 2025 Maths 2 approfondies ECG — Deuxième partie (Q8 à Q11.b) : Un secteur angulaire du plan : dessin, partie fermée, probabilité qu'un couple gaussien indépendant y tombe

Sujet officiel du concours ESCP-HEC, session 2025, épreuve Maths 2 approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

But de la partie : si $X$ et $Y$ sont indépendantes de loi $N (0, 1)$ , alors $W = \frac{X + Y}{2}$ et $Z = \frac{X - Y}{2}$ sont indépendantes de loi $N (0, 1)$ .

Résultat admis : si $X$ , $Y$ sont indépendantes, de densités $f$ et $g$ , et si $A \subset R^{2}$ est une partie fermée, alors $P ((X, Y) \in A) = \int_{- \infty}^{+ \infty} (\int_{- \infty}^{+ \infty} 1_{A} (x, y) f (x) d x) g (y) d y$ , où $1_{A}$ est l'indicatrice de $A$ .

Pour $a, b$ réels fixés : $A = {(x, y) \in R^{2} ∣ x + y ⩽ a et x - y ⩽ b}$ , $c = \frac{a + b}{2}$ , $d = \frac{a - b}{2}$ . $X$ , $Y$ sont indépendantes de loi $N (0, 1)$ , de densité $φ$ et de fonction de répartition $Φ$ .

Q8. Dessiner $A$ lorsque $a = 2$ et $b = - 1$ .
Q9.a Pour $y ⩾ d$ , montrer que $(x, y) \in A ⟺ x ⩽ a - y$ .
Q9.b En déduire $\int_{- \infty}^{+ \infty} 1_{A} (x, y) φ (x) d x = Φ (a - y)$ pour $y ⩾ d$ .
Q10. Montrer de même que cette intégrale vaut $Φ (b + y)$ pour $y ⩽ d$ .
Q11.a Montrer que $A$ est une partie fermée de $R^{2}$ .
Q11.b Montrer que $P ((X, Y) \in A) = \int_{0}^{+ \infty} (φ (d + z) + φ (d - z)) Φ (c - z) d z$ .

Corrigé

Q8. Pour $a = 2$ et $b = - 1$ :

$A = {(x, y) \in R^{2} ∣ y ⩽ 2 - x et y ⩾ x + 1} .$

C'est l'intersection de deux demi-plans fermés : celui situé sous la droite $D_{1}$ d'équation $y = 2 - x$ (passant par $(2, 0)$ et $(0, 2)$ ) et celui situé au-dessus de la droite $D_{2}$ d'équation $y = x + 1$ (passant par $(- 1, 0)$ et $(0, 1)$ ). Les deux droites, de pentes $- 1$ et $1$ , sont perpendiculaires et se coupent quand $x + 1 = 2 - x$ , soit au point $S = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ ; on remarque que $S = (c, d)$ puisque $c = \frac{a + b}{2} = \frac{1}{2}$ et $d = \frac{a - b}{2} = \frac{3}{2}$ . Un point de $A$ vérifie $x + 1 ⩽ y ⩽ 2 - x$ , ce qui impose $x ⩽ \frac{1}{2}$ .

$A$ est donc un secteur angulaire droit (un quart de plan tourné de $4 5^{\circ}$ ), de sommet $S$ , bords compris, qui s'ouvre vers la gauche. Pour placer le bon côté de chaque droite, on teste des points : $(- 1, 1) \in A$ car $- 1 + 1 = 0 ⩽ 2$ et $- 1 - 1 = - 2 ⩽ - 1$ ; en revanche l'origine n'est pas dans $A$ , car $0 - 0 = 0 > - 1$ .

La zone colorée, bords compris, représente $A$ (seule une portion est dessinée : $A$ n'est pas bornée).

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