Corrigé ESCP-HEC 2025 Maths 2 approfondies ECG — Deuxième partie (suite) (Q12 à Q16) : Calcul exact par changements de variable et primitive : (X+Y)/√2 et (X−Y)/√2 indépendantes de loi normale centrée réduite

Q12. Soit $z⩾0$ fixé. Par définition, $\Phi (c-z)={\int }_{-\infty }^{c-z}\phi (s)\mathrm{d}s$ (intégrale convergente). Le changement de variable affine $s=t-z$ ($\mathrm{d}s=\mathrm{d}t$ ; $t$ décrit $]-\infty ,c]$ quand $s$ décrit $]-\infty ,c-z]$) donne

$$\Phi (c-z)={\int }_{-\infty }^c\phi (t-z)\mathrm{d}t.$$

Le facteur $\phi (d+z)+\phi (d-z)$ ne dépend pas de $t$ ; par linéarité de l'intégrale (convergente),

$$(\phi (d+z)+\phi (d-z))\Phi (c-z)={\int }_{-\infty }^c(\phi (d+z)+\phi (d-z))\phi (t-z)\mathrm{d}t.$$

En reportant dans la formule de Q11.b :

$$\boxed{\mathbb{P}((X,Y)\in \mathcal{A})={\int }_0^{+\infty }\left({\int }_{-\infty }^c\right(\phi (d+z)+\phi (d-z))\phi (t-z)\mathrm{d}t)\mathrm{d}z.}$$

Q13. Soient $u,v\in \mathbb{R}$. D'une part, $\phi (u)\phi (v)=\frac{1}{2\pi }\exp (-\frac{u^2+v^2}{2})$. D'autre part,

$$\phi \left(\frac{u+v}{\sqrt{2}}\right)\phi \left(\frac{u-v}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2\pi }\exp (-\frac{(u+v{)}^2+(u-v{)}^2}{4}),$$

et $(u+v{)}^2+(u-v{)}^2=2u^2+2v^2$, de sorte que l'exposant vaut $-\frac{2u^2+2v^2}{4}=-\frac{u^2+v^2}{2}$. Les deux membres sont égaux :

$$\boxed{\phi (u)\phi (v)=\phi \left(\frac{u+v}{\sqrt{2}}\right)\phi \left(\frac{u-v}{\sqrt{2}}\right).}$$

(C'est l'invariance de $\phi (u)\phi (v)$ par la rotation d'angle $\frac{\pi }{4}$, qui conserve $u^2+v^2$ : tout le théorème de la partie est là.)

Q14. D'après l'interversion admise, $\mathbb{P}((X,Y)\in \mathcal{A})={\int }_{-\infty }^{c}J(t)\mathrm{d}t$ avec, pour $t⩽c$,

$$J(t)={\int }_0^{+\infty }(\phi (d+z)+\phi (d-z))\phi (t-z)\mathrm{d}z=J_1(t)+J_2(t),$$