Corrigé ESCP-HEC 2025 Maths 2 approfondies ECG — Première partie (Q1.a à Q3.b) : Loi du khi-deux : simulation de la variance, W1 de loi gamma(1/2), Γ(1/2) = √π, Wn de loi gamma(n/2), espérance de 1/Sn

Q1.a Chaque $X_i$ suit la loi $\mathcal{N}(0,1)$, d'espérance $0$ et de variance $1$ : elle admet un moment d'ordre $2$ et, par la formule de Kœnig-Huygens,

$$\mathbb{E}(X_i^2)=\mathbb{V}(X_i)+\mathbb{E}(X_i{)}^2=1+0=1.$$

La variable $S_n$ est une somme finie de variables admettant une espérance ; par linéarité de l'espérance (aucune indépendance n'est requise), $S_n$ admet une espérance et

$$\boxed{\mathbb{E}(S_n)=\sum _{i=1}^n\mathbb{E}(X_i^2)=n.}$$

Q1.b On tire d'un coup $n$ réalisations indépendantes de $\mathcal{N}(0,1)$ avec rd.normal(0, 1, n), puis on somme les carrés :

def simul(n):
    X = rd.normal(0, 1, n)      # n réalisations indépendantes de N(0,1)
    return np.sum(X**2)         # réalisation de S_n = X_1^2 + ... + X_n^2

X**2 élève chaque coordonnée au carré et np.sum les additionne : la fonction renvoie une réalisation de $S_n$. (Une boucle for qui ajoute rd.normal(0, 1)**2 à un compteur $n$ fois convient aussi.)

Q1.c Ce que calcule le programme. Les appels successifs à simul(n) fournissent des réalisations $s_1,\dots ,s_N$ de variables indépendantes de même loi que $S_n$. La fonction f(n, N) renvoie

$$f(n,N)=\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{s}_k^2-n^2.$$

Le premier terme est une réalisation de la moyenne empirique de $N$ copies indépendantes de $S_n^2$. Par la loi faible des grands nombres (appliquée à des variables indépendantes de même loi que $S_n^2$, qui admet une variance puisque $S_n=2W_n$ admet des moments de tous ordres, voir Q2.c), cette moyenne est, pour $N=50000$, très probablement proche de $\mathbb{E}(S_n^2)$. Comme $n^2=\mathbb{E}(S_n{)}^2$ d'après Q1.a, la formule de Kœnig-Huygens donne

$$f(n,50000)\approx \mathbb{E}(S_n^2)-\mathbb{E}(S_n{)}^2=\mathbb{V}(S_n).$$

Le programme simule donc la variance de $S_n$, pour $n=1,\dots ,9$.

Lecture du graphique. Les neuf points sont très proches de la droite d'équation $y=2x$ : environ $2$ pour $n=1$, $4$ pour $n=2$, $10$ pour $n=5$, $18$ pour $n=9$. Une exécution du programme donne en effet (graine non fixée)

$$f(n,50000)\approx 1,97;3,93;6,03;8,11;9,99;12,14;14,06;15,81;17,60$$

pour $n=1,\dots ,9$, soit des rapports $f(n,50000)/n$ compris entre $1,95$ et $2,03$.