Corrigé ESCP-HEC 2025 Maths 2 approfondies ECG — Première partie (suite) (Q4 à Q7) : Loi de Student : quantile t(n,α), espérance et variance, suite u(n) = E(1/√Wn) et son équivalent, convergence en probabilité vers Y

Q4. Notons $h$ la densité de $T_n$, continue et strictement positive sur $\mathbb{R}$, et $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}h(s)\mathrm{d}s$ sa fonction de répartition. Comme $h$ est continue sur $\mathbb{R}$, $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et $F^{\prime }=h$.

Pour $t<0$, l'événement $[|T_n|⩽t]$ est vide : $\mathbb{P}(|T_n|⩽t)=0\ne 1-\alpha$, puisque $\alpha <1$. Un éventuel $t_{n,\alpha }$ est donc positif. Pour $t⩾0$, la variable $T_n$ étant à densité, $\mathbb{P}(T_n=-t)=0$ et

$$G(t)=\mathbb{P}(|T_n|⩽t)=\mathbb{P}(-t⩽T_n⩽t)=F(t)-F(-t).$$

La fonction $G$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,+\infty [$, de dérivée $G^{\prime }(t)=h(t)+h(-t)>0$. Elle est donc continue et strictement croissante sur $[0,+\infty [$, avec $G(0)=0$ et ${\lim }_{t\to +\infty }G(t)=1-0=1$ (limites de la fonction de répartition $F$). D'après le théorème de la bijection, $G$ réalise une bijection de $[0,+\infty [$ sur $[0,1[$. Comme $1-\alpha \in ]0,1[\subset [0,1[$, il existe un unique $t⩾0$, noté $t_{n,\alpha }$, tel que $G(t)=1-\alpha$ ; avec le cas $t<0$ exclu ci-dessus, $\boxed{t_{n,\alpha }=G^{-1}(1-\alpha )}$ est l'unique réel cherché. On a de plus $t_{n,\alpha }>0$ car $G(0)=0\ne 1-\alpha$.

Q5.a Soit $n⩾3$. On écrit $T_n=\sqrt{n}Y\cdot \frac{1}{\sqrt{S_n}}$. Les variables $Y,X_1,\dots ,X_n$ sont mutuellement indépendantes ; $\frac{1}{\sqrt{S_n}}$ est fonction de $(X_1,\dots ,X_n)$, donc, par le lemme des coalitions, $Y$ et $\frac{1}{\sqrt{S_n}}$ sont indépendantes. Toutes deux admettent un moment d'ordre $2$ : $\mathbb{E}(Y^2)=\mathbb{V}(Y)+\mathbb{E}(Y{)}^2=1$, et $(\frac{1}{\sqrt{S_n}}{)}^2=\frac{1}{S_n}$ admet une espérance d'après Q3.a. Elles admettent donc une espérance (Q3.b pour la seconde), et le théorème du cours « si $A$ et $B$ sont indépendantes et admettent un moment d'ordre $2$, alors $AB$ admet une espérance et $\mathbb{E}(AB)=\mathbb{E}(A)\mathbb{E}(B)$ » s'applique : $T_n$ admet une espérance et

$$\boxed{\mathbb{E}(T_n)=\sqrt{n}\mathbb{E}(Y)\mathbb{E}\left(\frac{1}{\sqrt{S_n}}\right)=\sqrt{n}\times 0\times \mathbb{E}\left(\frac{1}{\sqrt{S_n}}\right)=0.}$$

Q5.b Soit $n⩾3$. On a $T_n^2=n{Y}^2\cdot \frac{1}{S_n}$. Les variables $Y^2$ et $\frac{1}{S_n}$ sont indépendantes (lemme des coalitions) ; $Y^2$ admet une espérance $\mathbb{E}(Y^2)=\mathbb{V}(Y)+\mathbb{E}(Y{)}^2=1$, et $\frac{1}{S_n}$ une espérance égale à $\frac{1}{n-2}$ (Q3.a). Le résultat admis du programme « si $A$ et $B$ sont indépendantes et admettent chacune une espérance, alors $AB$ admet une espérance et $\mathbb{E}(AB)=\mathbb{E}(A)\mathbb{E}(B)$ » (le cours l'énonce sous l'hypothèse plus forte de moments d'ordre $2$, que $\frac{1}{S_n}$ ne possède que pour $n⩾5$ : l'intégrale de $t^{\frac{n}{2}-3}{\mathrm{e}}^{-t}$ en $0$ l'exige) donne alors : $T_n^2$ admet une espérance, donc $T_n$ admet un moment d'ordre $2$, donc une variance (existence de l'espérance et de la variance équivalente à celle du moment d'ordre $2$, résultat admis), et