Corrigé ESCP-HEC 2025 Maths 2 approfondies ECG — Troisième partie (Q17.a à Q19.c) : Théorème de Cochran : base orthonormée, moyenne empirique et somme des carrés des écarts indépendantes, loi du khi-deux à n−1 degrés

Sujet officiel du concours ESCP-HEC, session 2025, épreuve Maths 2 approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $n ⩾ 2$ . $R^{n}$ est muni du produit scalaire canonique $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ , et $(a_{1}, \dots, a_{n})$ est une base orthonormée de $R^{n}$ telle que $a_{1} = \frac{1}{n} (1, \dots, 1)$ . Pour $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ , on note $x = \frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n}$ .

$X_{1}, \dots, X_{n}$ sont mutuellement indépendantes de loi $N (0, 1)$ , $X = (X_{1}, \dots, X_{n})$ , et $Y_{k} = ⟨ X, a_{k} ⟩$ pour $k \in [[1, n]]$ (on peut supposer les $Y_{k}$ jamais nulles). Théorème de Cochran (admis) : $Y_{1}, \dots, Y_{n}$ sont mutuellement indépendantes, de loi $N (0, 1)$ . On pose $X = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ et $U = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - X)^{2}$ .

Q17.a Montrer que $\sum_{k = 2}^{n} ⟨ x, a_{k} ⟩ a_{k} = (x_{1} - x, \dots, x_{n} - x)$ .
Q17.b En déduire $\sum_{k = 2}^{n} ⟨ x, a_{k} ⟩^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x)^{2}$ .
Q18.a Retrouver le résultat de la deuxième partie grâce au théorème de Cochran.
Q18.b Pour $(β_{1}, β_{2}) \neq = (0, 0)$ , montrer que $R_{1} = X_{1} + X_{2}$ et $R_{2} = β_{1} X_{1} + β_{2} X_{2}$ sont indépendantes si et seulement si $Cov (R_{1}, R_{2}) = 0$ .
Q19.a Donner la loi de $X$ .
Q19.b Exprimer $X$ et $U$ à l'aide des $Y_{k}$ .
Q19.c Montrer que $X$ et $U$ sont indépendantes et que $U ↪ χ^{2} (n - 1)$ .

Corrigé

Q17.a La famille $(a_{1}, \dots, a_{n})$ étant une base orthonormée, tout vecteur se décompose suivant ses coordonnées $⟨ x, a_{k} ⟩$ :

$x = k = 1 \sum n ⟨ x, a_{k} ⟩ a_{k} .$

Calculons le premier terme : $⟨ x, a_{1} ⟩ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = \frac{n x}{n} = n x$ , donc

$⟨ x, a_{1} ⟩ a_{1} = n x \cdot \frac{1}{n} (1, \dots, 1) = (x, \dots, x) .$

Par conséquent

$k = 2 \sum n ⟨ x, a_{k} ⟩ a_{k} = x - ⟨ x, a_{1} ⟩ a_{1} = (x_{1} - x, \dots, x_{n} - x) .$

Interprétation : $(x, \dots, x)$ est le projeté orthogonal de $x$ sur la droite $Vect (a_{1})$ des vecteurs constants, et $\sum_{k ⩾ 2} ⟨ x, a_{k} ⟩ a_{k}$ son projeté sur l'orthogonal de cette droite.

Q17.b Notons $v = \sum_{k = 2}^{n} ⟨ x, a_{k} ⟩ a_{k}$ . Les vecteurs $⟨ x, a_{k} ⟩ a_{k}$ , $2 ⩽ k ⩽ n$ , sont deux à deux orthogonaux ; par le théorème de Pythagore, et puisque $∥ a_{k} ∥ = 1$ ,

$∥ v ∥^{2} = k = 2 \sum n ⟨ x, a_{k} ⟩ a_{k}^{2} = k = 2 \sum n ⟨ x, a_{k} ⟩^{2} .$

D'autre part, d'après Q17.a et l'expression de la norme euclidienne canonique, $∥ v ∥^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x)^{2}$ . D'où

$k = 2 \sum n ⟨ x, a_{k} ⟩^{2} = i = 1 \sum n (x_{i} - x)^{2} .$

Q18.a On applique le théorème de Cochran avec $n = 2$ . Les vecteurs

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