Corrigé ESCP-HEC 2025 Maths 2 approfondies ECG — Troisième partie (suite) (Q20.a à Q21) : Échantillon gaussien de variance inconnue : estimateur sans biais de la variance, statistique de Student, intervalle de confiance exact de la moyenne

Q20.a Les $X_i$. Pour chaque $i$, $Z_i\hookrightarrow \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$, donc la variable centrée réduite $X_i=\frac{Z_i-\mu }{\sigma }$ suit la loi $\mathcal{N}(0,1)$ ; chaque $X_i$ étant fonction de la seule $Z_i$, les $X_i$ sont mutuellement indépendantes (lemme des coalitions). Les résultats de Q17 à Q19 s'appliquent donc à $(X_1,\dots ,X_n)$.

Expression de $V$. On a $Z_i=\mu +\sigma X_i$, d'où, en moyennant, $\overline{Z}=\mu +\sigma \overline{X}$, puis $Z_i-\overline{Z}=\sigma (X_i-\overline{X})$. En élevant au carré et en sommant :

$$\boxed{V=\sum _{i=1}^n{\sigma }^2(X_i-\overline{X}{)}^2={\sigma }^{2}U.}$$

Q20.b $\frac{1}{n-1}V=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(Z_i-\overline{Z}{)}^2$ est une fonction de l'échantillon $(Z_1,\dots ,Z_n)$ qui ne fait intervenir ni $\mu$ ni $\sigma$ : c'est un estimateur de ${\sigma }^2$. D'après Q19.c, $U\hookrightarrow {\chi }^2(n-1)$, donc $U$ admet une espérance, $\mathbb{E}(U)=n-1$ (Q1.a ou Q2.d, au rang $n-1$). Par linéarité et Q20.a, pour tout $(\mu ,{\sigma }^2)$,

$$\mathbb{E}\left(\frac{1}{n-1}V\right)=\frac{{\sigma }^2}{n-1}\mathbb{E}(U)=\frac{{\sigma }^2}{n-1}(n-1)={\sigma }^2.$$

Donc $\boxed{\frac{1}{n-1}V\text{ est un estimateur sans biais de }{\sigma }^2.}$

Remarque : la variance empirique $\frac{1}{n}V$ est biaisée, d'espérance $\frac{n-1}{n}{\sigma }^2<{\sigma }^2$ ; le diviseur $n-1$ corrige exactement ce biais (le degré de liberté perdu en Q19.c).

Q20.c Notons $Q=\frac{\overline{Z}-\mu }{\sqrt{V/(n(n-1))}}$ ($V>0$, donc $Q$ est bien définie). D'après Q20.a, $\overline{Z}-\mu =\sigma \overline{X}$ et $\sqrt{V}=\sigma \sqrt{U}$ (car $\sigma >0$), d'où

$$Q=\frac{\sigma \overline{X}}{\sigma \sqrt{U/(n(n-1))}}=\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{\sqrt{U/(n-1)}}.$$