Corrigé ESCP-HEC 2026 Maths 2 approfondies ECG — Partie I (premier exemple) (Q9 à Q12) : Borne supérieure de Fréchet : F1(X) et F2(Y) uniformes et presque sûrement égales, variables comonotones, simulation Python

Sujet officiel du concours ESCP-HEC, session 2026, épreuve Maths 2 approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soient $- \infty ⩽ a_{1} < b_{1} ⩽ + \infty$ , $- \infty ⩽ a_{2} < b_{2} ⩽ + \infty$ , $F_{1} \in F_{(a_{1}, b_{1})}$ et $F_{2} \in F_{(a_{2}, b_{2})}$ . On suppose que $F_{(X, Y)} (x, y) = min (F_{1} (x), F_{2} (y))$ pour tout $(x, y) \in R^{2}$ .

Q9. Montrer que $F_{X} = F_{1}$ et $F_{Y} = F_{2}$ .
Q10. On pose $U = F_{1} (X)$ et $V = F_{2} (Y)$ .
Q10.a Déterminer les lois de $U$ et $V$ .
Q10.b Déterminer la fonction de répartition du couple $(U, V)$ .
Q10.c Représenter l'ensemble des $(x, y) \in R^{2}$ tels que $\frac{1}{2} ⩽ F_{(U, V)} (x, y) ⩽ \frac{2}{3}$ .
Q10.d Pour $n ⩾ 2$ , majorer $P (U - V > \frac{1}{n})$ par la somme, pour $k$ de $1$ à $n - 1$ , des probabilités des événements $[\frac{k}{n} < U ⩽ \frac{k + 1}{n}] \cap [V ⩽ \frac{k}{n}]$ .
Q10.e En déduire $P (U ⩽ V) = 1$ , puis $P (U = V) = 1$ .
Q10.f Si $Y (Ω) \subset] a_{2}, b_{2} [$ , montrer que $X = F_{1}^{- 1} (F_{2} (Y))$ presque sûrement.
Q11. Si $X (Ω) \subset] a_{1}, b_{1} [$ et $Y (Ω) \subset] a_{2}, b_{2} [$ , montrer qu'il existe $g$ et $h$ croissantes telles que $X = g (Y)$ et $Y = h (X)$ presque sûrement ( $X$ et $Y$ sont dites comonotones).
Q12. Python. $F_{1} = Φ$ (loi $N (0, 1)$ ) et $F_{2}$ est la fonction de répartition de $E (1)$ . Écrire Nuage1() qui représente $100$ réalisations de $(X, Y)$ .

Corrigé

Q9. Soit $x \in R$ . D'après Q4.b, $F_{X} (x) = lim_{r \to + \infty} min (F_{1} (x), F_{2} (r))$ . D'après le complément (C1) de Q1, $F_{2} (r) \to 1$ quand $r \to + \infty$ (que $b_{2}$ soit fini ou non). La fonction $s \mapsto min (F_{1} (x), s) = \frac{F _{1} ( x ) + s - ∣ F _{1} ( x ) - s ∣}{2}$ est continue, donc

$F_{X} (x) = min (F_{1} (x), 1) = F_{1} (x)$

car $F_{1} (x) ⩽ 1$ . De même, par Q5, $F_{Y} (y) = lim_{t \to + \infty} min (F_{1} (t), F_{2} (y)) = min (1, F_{2} (y)) = F_{2} (y)$ . Donc $F_{X} = F_{1} et F_{Y} = F_{2} .$

Q10.a $F_{1}$ étant continue, $U = F_{1} (X)$ est une variable aléatoire, à valeurs dans $[0, 1]$ .

Pour $u \in] 0, 1 [$ , le complément (C2) de Q1 donne l'égalité d'événements $[F_{1} (X) ⩽ u] = [X ⩽ F_{1}^{- 1} (u)]$ , d'où, avec Q9,

$F_{U} (u) = F_{X} (F_{1}^{- 1} (u)) = F_{1} (F_{1}^{- 1} (u)) = u .$

Pour $u < 0$ , $[U ⩽ u] = \emptyset$ et $F_{U} (u) = 0$ ; pour $u ⩾ 1$ , $[U ⩽ u] = Ω$ et $F_{U} (u) = 1$ .
Pour $u = 0$ : pour tout $ε \in] 0, 1 [$ , $0 ⩽ F_{U} (0) ⩽ F_{U} (ε) = ε$ , donc $F_{U} (0) = 0$ .

Ainsi $F_{U} (u) = u$ sur $[0, 1]$ , $0$ avant, $1$ après : c'est la fonction de répartition de la loi uniforme, donc $U ↪ U ([0, 1])$ , et de même $V ↪ U ([0, 1])$ . Notons $φ (t) = min (max (t, 0), 1)$ cette fonction de répartition commune.

Ce résultat n'utilise que $F_{X} = F_{1} \in F_{(a_{1}, b_{1})}$ : pour toute variable $X$ telle que $F_{X} \in F_{(a, b)}$ , la variable $F_{X} (X)$ suit la loi $U ([0, 1])$ .

Q10.b Soit $(x, y) \in] 0, 1 [^{2}$ . Par (C2), $[U ⩽ x] = [X ⩽ F_{1}^{- 1} (x)]$ et $[V ⩽ y] = [Y ⩽ F_{2}^{- 1} (y)]$ , donc

$F_{(U, V)} (x, y) = F_{(X, Y)} (F_{1}^{- 1} (x), F_{2}^{- 1} (y)) = min (F_{1} (F_{1}^{- 1} (x)), F_{2} (F_{2}^{- 1} (y))),$

soit $F_{(U, V)} (x, y) = min (x, y)$ . Hors de $] 0, 1 [^{2}$ , on utilise que $U$ et $V$ sont à valeurs dans $[0, 1]$ :

si $x < 0$ ou $y < 0$ , l'événement $[U ⩽ x] \cap [V ⩽ y]$ est vide : $F_{(U, V)} (x, y) = 0$ ;
si $x ⩾ 1$ , $[U ⩽ x] = Ω$ et $F_{(U, V)} (x, y) = F_{V} (y) = φ (y)$ ; si $y ⩾ 1$ , $F_{(U, V)} (x, y) = φ (x)$ ;
si $x = 0$ et $y \in [0, 1 [$ : $0 ⩽ F_{(U, V)} (0, y) ⩽ F_{U} (0) = 0$ ; de même si $y = 0$ et $x \in [0, 1 [$ .

Dans tous les cas, $F_{(U, V)} (x, y) = min (φ (x), φ (y))$ ; en particulier $F_{(U, V)} (x, y) = min (x, y)$ sur $[0, 1]^{2}$ .

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