Corrigé ESCP-HEC 2026 Maths 2 approfondies ECG — Partie I (second exemple) (Q13 à Q17) : Borne inférieure de Fréchet : U = 1 − V presque sûrement, variables contra-monotones, nuage de points sur la droite y = 1 − 2x

Sujet officiel du concours ESCP-HEC, session 2026, épreuve Maths 2 approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes intervalles et mêmes $F_{1} \in F_{(a_{1}, b_{1})}$ , $F_{2} \in F_{(a_{2}, b_{2})}$ qu'en Q9, mais on suppose cette fois $F_{(X, Y)} (x, y) = max (F_{1} (x) + F_{2} (y) - 1, 0)$ pour tout $(x, y) \in R^{2}$ .

Q13. Montrer que $F_{X} = F_{1}$ et $F_{Y} = F_{2}$ .
Q14. On pose $U = F_{1} (X)$ et $V = F_{2} (Y)$ .
Q14.a Déterminer les lois de $U$ et de $1 - V$ , et la fonction de répartition de $(U, 1 - V)$ .
Q14.b En déduire $P (U = 1 - V) = 1$ .
Q14.c Si $Y (Ω) \subset] a_{2}, b_{2} [$ , montrer que $X = F_{1}^{- 1} (1 - F_{2} (Y))$ presque sûrement.
Q15. Si $X (Ω) \subset] a_{1}, b_{1} [$ et $Y (Ω) \subset] a_{2}, b_{2} [$ , montrer qu'il existe $g$ et $h$ décroissantes telles que $X = g (Y)$ et $Y = h (X)$ presque sûrement ( $X$ et $Y$ sont dites contra-monotones).
Q16. Python. $F_{1} = Φ$ et $F_{2}$ est la fonction de répartition de $N (1, 4)$ . Écrire Nuage2() qui trace $100$ réalisations de $(X, Y)$ .
Q17. Le sujet montre deux nuages : (a) des points alignés sur une droite décroissante, de $(- 2, 7; 6)$ à $(2, 7; - 4, 4)$ environ ; (b) des points d'ordonnées positives sur une courbe croissante et convexe, de $(- 3; 0)$ à $(2, 5; 5)$ environ. Attribuer chaque nuage à Nuage1 ou Nuage2.

Corrigé

Q13. Soit $x \in R$ . D'après Q4.b et le complément (C1) de Q1 ( $F_{2} (r) \to 1$ quand $r \to + \infty$ ), et par continuité de $s \mapsto max (F_{1} (x) + s - 1, 0)$ ,

$F_{X} (x) = r \to + \infty lim max (F_{1} (x) + F_{2} (r) - 1, 0) = max (F_{1} (x), 0) = F_{1} (x),$

car $F_{1} (x) ⩾ 0$ . De même, par Q5, $F_{Y} (y) = lim_{t \to + \infty} max (F_{1} (t) + F_{2} (y) - 1, 0) = F_{2} (y)$ . Donc $F_{X} = F_{1} et F_{Y} = F_{2} .$

Q14.a Lois de $U$ et $1 - V$ . La remarque qui suit Q10.a s'applique ( $F_{X} = F_{1} \in F_{(a_{1}, b_{1})}$ , $F_{Y} = F_{2} \in F_{(a_{2}, b_{2})}$ ) : $U ↪ U ([0, 1])$ et $V ↪ U ([0, 1])$ . La variable $1 - V$ est à valeurs dans $[0, 1]$ . Pour $t \in [0, 1]$ , comme $P (V = 1 - t) = 0$ ( $V$ est à densité),

$P (1 - V ⩽ t) = P (V ⩾ 1 - t) = 1 - P (V < 1 - t) = 1 - P (V ⩽ 1 - t) = 1 - (1 - t) = t;$

cette probabilité vaut $0$ pour $t < 0$ et $1$ pour $t ⩾ 1$ . Donc $U ↪ U ([0, 1]) et 1 - V ↪ U ([0, 1]) .$

Loi du couple $(U, V)$ sur $] 0, 1 [^{2}$ . Comme en Q10.b, le complément (C2) de Q1 donne, pour $(x, s) \in] 0, 1 [^{2}$ ,

$P ([U ⩽ x] \cap [V ⩽ s]) = F_{(X, Y)} (F_{1}^{- 1} (x), F_{2}^{- 1} (s)) = max (x + s - 1, 0) .$

Loi du couple $(U, 1 - V)$ . Soit $(x, y) \in] 0, 1 [^{2}$ . On a $[1 - V ⩽ y] = [V ⩾ 1 - y]$ , donc

$P ([U ⩽ x] \cap [1 - V ⩽ y]) = P (U ⩽ x) - P ([U ⩽ x] \cap [V < 1 - y]) .$

Or $P ([U ⩽ x] \cap [V < 1 - y]) = P ([U ⩽ x] \cap [V ⩽ 1 - y]) - P ([U ⩽ x] \cap [V = 1 - y])$ , et le dernier terme est compris entre $0$ et $P (V = 1 - y) = 0$ . Avec $s = 1 - y \in] 0, 1 [$ :

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