Corrigé ESCP-HEC 2026 Maths 2 approfondies ECG — Partie II.A (Q18 à Q23) : Fonctions 2-croissantes : contre-exemples max(x,y) et xy, caractérisation par le signe de la dérivée partielle croisée

Sujet officiel du concours ESCP-HEC, session 2026, épreuve Maths 2 approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On reprend la définition de la 2-croissance (rappel de Q1 à Q8) ; $\partial_{1, 2}^{2} F$ désigne la dérivée partielle seconde croisée de $F$ .

Q18. Soit $f_{1} (x, y) = max (x, y)$ sur $R^{2}$ et $(x_{0}, y_{0}) \in R^{2}$ .
Q18.a Montrer que $t \mapsto f_{1} (t, y_{0})$ et $t \mapsto f_{1} (x_{0}, t)$ sont croissantes.
Q18.b Montrer que $f_{1}$ n'est pas 2-croissante.
Q19. Soit $f_{2} (x, y) = x y$ sur $R^{2}$ .
Q19.a Montrer que $f_{2}$ est 2-croissante.
Q19.b Montrer qu'il existe $y$ tel que $t \mapsto f_{2} (t, y)$ ne soit pas croissante.
Q20. Que déduire des deux questions précédentes ?
Q21. $I$ , $J$ sont des intervalles ouverts et $F : R^{2} \to R$ est de classe $C^{2}$ , 2-croissante sur $I \times J$ .
Q21.a Pour $(x, y) \in R^{2}$ , montrer que $\partial_{1, 2}^{2} F (x, y)$ est la limite quand $h \to 0$ de la limite quand $t \to 0$ du quotient $\frac{F ( x + h , y + t ) - F ( x + h , y ) - F ( x , y + t ) + F ( x , y )}{h t}$ .
Q21.b En déduire que $\partial_{1, 2}^{2} F ⩾ 0$ sur $I \times J$ .
Q22. $I$ , $J$ sont des intervalles ouverts et $F : R^{2} \to R$ est de classe $C^{2}$ .
Q22.a Pour $(a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) \in I \times J$ avec $a_{1} ⩽ b_{1}$ , $a_{2} ⩽ b_{2}$ , montrer que $F (b_{1}, b_{2}) - F (a_{1}, b_{2}) - F (b_{1}, a_{2}) + F (a_{1}, a_{2}) = \int_{a_{2}}^{b_{2}} (\int_{a_{1}}^{b_{1}} \partial_{1, 2}^{2} F (x, y) d x) d y$ .
Q22.b En déduire que $F$ est 2-croissante sur $I \times J$ si et seulement si $\partial_{1, 2}^{2} F ⩾ 0$ sur $I \times J$ .
Q23. $F : R^{2} \to R$ est 2-croissante, et $F (t, y) \to 0$ , $F (x, t) \to 0$ quand $t \to - \infty$ . Montrer que $t \mapsto F (t, y)$ et $t \mapsto F (x, t)$ sont croissantes.

Corrigé

Pour $F$ définie sur $D$ et $a = (a_{1}, a_{2})$ , $b = (b_{1}, b_{2})$ dans $D$ avec $a_{1} ⩽ b_{1}$ , $a_{2} ⩽ b_{2}$ , notons

$Δ_{F} (a, b) = F (b_{1}, b_{2}) - F (a_{1}, b_{2}) - F (b_{1}, a_{2}) + F (a_{1}, a_{2}) .$

Q18.a Soient $t ⩽ t^{'}$ . On a $t ⩽ t^{'} ⩽ max (t^{'}, y_{0})$ et $y_{0} ⩽ max (t^{'}, y_{0})$ : le réel $max (t^{'}, y_{0})$ majore $t$ et $y_{0}$ , donc majore leur maximum, $f_{1} (t, y_{0}) ⩽ f_{1} (t^{'}, y_{0})$ . La fonction $t \mapsto f_{1} (t, y_{0})$ est croissante ; comme $f_{1} (x_{0}, t) = max (t, x_{0}) = f_{1} (t, x_{0})$ , la fonction $t \mapsto f_{1} (x_{0}, t)$ l'est aussi.

Q18.b Il suffit d'un contre-exemple. Avec $a = (0, 0)$ et $b = (1, 1)$ :

$Δ_{f_{1}} (a, b) = max (1, 1) - max (0, 1) - max (1, 0) + max (0, 0) = 1 - 1 - 1 + 0 = - 1 < 0.$

Donc $f_{1} n’est pas 2-croissante.$

Q19.a Pour $a_{1} ⩽ b_{1}$ et $a_{2} ⩽ b_{2}$ , on factorise :

$Δ_{f_{2}} (a, b) = b_{1} b_{2} - a_{1} b_{2} - b_{1} a_{2} + a_{1} a_{2} = (b_{1} - a_{1}) (b_{2} - a_{2}) ⩾ 0,$

produit de deux réels positifs. Donc $f_{2} est 2-croissante.$

Q19.b Prenons $y = - 1$ : $t \mapsto f_{2} (t, - 1) = - t$ est strictement décroissante ; par exemple $f_{2} (0, - 1) = 0 > - 1 = f_{2} (1, - 1)$ . Elle n'est donc pas croissante.

Q20. Les deux propriétés « $F$ est 2-croissante » et « les fonctions partielles de $F$ sont croissantes » sont indépendantes : la seconde n'entraîne pas la première ( $f_{1}$ , Q18) et la première n'entraîne pas la seconde ( $f_{2}$ , Q19). En particulier, la 2-croissance de la fonction de répartition d'un couple (Q7) n'est pas une conséquence de la croissance de ses fonctions partielles ; il faut une hypothèse supplémentaire pour passer de la 2-croissance à la croissance partielle, ce que fait Q23 (limites nulles en $- \infty$ ).

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