Corrigé ESCP-HEC 2026 Maths 2 approfondies ECG — Partie II.B (Q24 à Q26.c) : Copules : marges uniformes, copule de survie, caractère 1-lipschitzien en chaque variable et continuité

Sujet officiel du concours ESCP-HEC, session 2026, épreuve Maths 2 approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une copule est une fonction réelle $C$ définie sur $[0, 1]^{2}$ , 2-croissante sur $[0, 1]^{2}$ , telle que $C (0, x) = C (x, 0) = 0$ et $C (1, x) = C (x, 1) = x$ pour tout $x \in [0, 1]$ . Théorème admis : pour toute copule $C$ , il existe un couple $(U, V)$ à valeurs dans $[0, 1]^{2}$ dont la fonction de répartition, restreinte à $[0, 1]^{2}$ , est $C$ (couple associé à $C$ ). On fixe une copule $C$ et un couple $(U, V)$ associé.

Q24. Déterminer les lois de $U$ et $V$ .
Q25. Montrer que $C^{*} (u, v) = u + v - 1 + C (1 - u, 1 - v)$ définit une copule sur $[0, 1]^{2}$ (copule de survie).
Q26.a Pour $v \in [0, 1]$ et $0 ⩽ u_{1} ⩽ u_{2} ⩽ 1$ , montrer que $0 ⩽ C (u_{2}, v) - C (u_{1}, v) ⩽ u_{2} - u_{1}$ , et l'inégalité analogue en la seconde variable.
Q26.b En déduire $∣ C (u_{2}, v_{2}) - C (u_{1}, v_{1}) ∣ ⩽ ∣ u_{2} - u_{1} ∣ + ∣ v_{2} - v_{1} ∣$ sur $[0, 1]^{2}$ .
Q26.c Montrer que $C$ est continue sur $[0, 1]^{2}$ .

Corrigé

Comme dans la partie II.A, pour $a = (a_{1}, a_{2})$ , $b = (b_{1}, b_{2})$ avec $a_{1} ⩽ b_{1}$ et $a_{2} ⩽ b_{2}$ , on note $Δ_{C} (a, b) = C (b_{1}, b_{2}) - C (a_{1}, b_{2}) - C (b_{1}, a_{2}) + C (a_{1}, a_{2})$ .

Q24. Le couple $(U, V)$ est à valeurs dans $[0, 1]^{2}$ , donc $[V ⩽ 1] = Ω$ . Pour $u \in [0, 1]$ ,

$F_{U} (u) = P ([U ⩽ u] \cap [V ⩽ 1]) = F_{(U, V)} (u, 1) = C (u, 1) = u,$

car $(u, 1) \in [0, 1]^{2}$ . Pour $u < 0$ , $[U ⩽ u] = \emptyset$ et $F_{U} (u) = 0$ ; pour $u > 1$ , $[U ⩽ u] = Ω$ et $F_{U} (u) = 1$ . C'est la fonction de répartition de la loi uniforme sur $[0, 1]$ , qui caractérise la loi. De même, $F_{V} (v) = F_{(U, V)} (1, v) = C (1, v) = v$ sur $[0, 1]$ . Donc $U ↪ U ([0, 1]) et V ↪ U ([0, 1]) .$

Ce que le correcteur attend : l'usage de $[V ⩽ 1] = Ω$ , qui vient de ce que $V$ est à valeurs dans $[0, 1]$ ; c'est l'analogue « à distance finie » de Q4.b.

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